近日，阿里云人工智能平台 PAI与华东师范大学陈岑副教授团队合作在深度学习顶级会议 CIKM 2023 上发表 OLSS (Optimal Linear Subspace Search) 算法，这是一种针对扩散模型的采样加速算法。在这篇论文中，扩散模型加速算法的本质被建模成线性子空间的扩张过程，给出了目前方法的统一分析，并基于此设计了新的加速算法，大幅度提升了扩散模型的生成速度。
论文：
Zhongjie Duan, Chengyu Wang, Cen Chen, Jun Huang, Weining Qian. Optimal Linear Subspace Search: Learning to Construct Fast and High-Quality Schedulers for Diffusion Models. CIKM 2023
背景
近年来，在图像生成领域，对于扩散模型的成功我们有目共睹。与基于 GAN 的生成模型不同，扩散模型需要多次调用模型进行前向推理，经过多次迭代，才能得到清晰完整的图像。扩散模型在大幅度提升生成效果的同时，也因其迭代式的生成过程面临严重的计算效率问题。我们希望改进扩散模型的生成过程，减少迭代步数，提升生成速度。
加速算法的统一分析
形式化地，给定一个扩散模型( epsilon_theta)，在一次完整的生成过程中，从高斯噪声(boldsymbol x_T) 开始，经过 (T)步采样，依次得到 (boldsymbol x_{T-1},dots,boldsymbol x_0)。为了保证生成效果，(T) 在训练时通常被设置的非常大，例如 Stable Diffusion 中是 (1000)。现有的一些研究工作提出了“调度机”（scheduler）的概念。一个调度机会在({T,T-1,dots,0}) 中取出一个( n)步递减的子序列 (t(1),dots,t(n))，只在这(n) 步中调用模型进行前向推理，构建完整生成过程的近似过程，重构出迭代公式。
具体地，在 DDIM 调度机中
(boldsymbol x_{t(i+1)}=sqrt{alpha_{t(i+1)}}left(frac{boldsymbol x_{t(i)}-sqrt{1-alpha_{t(i)}}boldsymbol e_{t(i)}}{sqrt{alpha_{t(i)}}}right) +sqrt{1-alpha_{t(i+1)}}boldsymbol e_{t(i)}.)
其中( boldsymbol e_{t(i)})是模型的输出值。在一些基于常微分方程的调度机中，(x_t)被建模成步骤( t) 的函数，进而可以使用常微分方程的数值近似算法——前向欧拉方法求解
(boldsymbol x_{t(i+1)}=boldsymbol x_{t(i)}+Big(t(i+1)-t(i)Big)frac{mathrm{d} boldsymbol x_{t(i)}}{mathrm{d}t(i)},)
其中
(frac{mathrm{d} boldsymbol x_{t}}{mathrm{d}t}=-frac{mathrm{d} alpha_t}{mathrm{d} t}left( frac{boldsymbol x_t}{2alpha_t} -frac{boldsymbol e_t}{2alpha_tsqrt{1-alpha_t}} right).)
PNDM 调度机则是基于线性多步方法构造了一个伪数值近似算法
(boldsymbol x_{t(i+1)}=frac{sqrt{alpha_{t(i+1)}}}{sqrt{alpha_{t(i)}}}boldsymbol x_{t(i)}-frac{1}{sqrt{alpha_{t(i)}}}alpha_{t(i)}’boldsymbol e_{t(i)}’,)
其中
(boldsymbol e_{t(i)}’=frac{1}{24}(55 boldsymbol e_{t(i)}-59 boldsymbol e_{t(i-1)}+37 boldsymbol e_{t(i-2)}-9 boldsymbol e_{t(i-3)}),)
(alpha_{t(i)}’=frac{alpha_{t(i+1)}-alpha_{t(i)}} {sqrt{(1-alpha_{t(i+1)})alpha_{t(i)}}+sqrt{(1-alpha_{t(i)})alpha_{t(i+1)}}}.)
观察以上调度机中的迭代公式，我们不难发现
(boldsymbol x_{t(i+1)}intext{span}{boldsymbol x_{t(i)},boldsymbol e_{t(1)},boldsymbol dots,boldsymbol e_{t(i)}}.)
用数学归纳法易证
(boldsymbol x_{t(i+1)}intext{span}{boldsymbol x_{t(1)},boldsymbol e_{t(1)},boldsymbol dots,boldsymbol e_{t(i)}}.)
这其实揭示了调度机设计的本质——在由模型输出值和初始高斯噪声张成的向量空间中求解下一步的 (boldsymbol x_T)。不同的调度机仅在迭代公式的系数上存在不同，我们决定设计一个新的调度机，将迭代公式中的系数设计成可训练的，使其对应的近似计算过程更加精确。
算法架构
假定( n) 个步骤 ({t(1),dots,t(n)})已经被选出，在第(i) 步，我们已经得到了( boldsymbol x_{t(1)},dots,boldsymbol x_{t(i)}) 以及 (boldsymbol e_{t(1)},dots,boldsymbol e_{t(i)})，考虑计算(boldsymbol x_{t(i+1)}) 的近似值 (hat{boldsymbol x}_{t(i+1)})，根据我们上文中的分析，(hat{boldsymbol x}_{t(i+1)}) 应当在由 ({boldsymbol x_{t(1)},boldsymbol e_{t(1)},boldsymbol dots,boldsymbol e_{t(i)}})张成的线性子空间中求解，即
(hat{boldsymbol x}_{t(i+1)}=w_{i,0}boldsymbol x_{t(1)}+sum_{j=1}^i w_{i,j}boldsymbol e_{t(j)}.)
为了确定最佳的参数( {w_{i,j}})，我们需要对其进行训练。考虑到训练参数较少，我们并不采用基于梯度的训练方法，而是直接使用最小二乘法求最优解。首先采集来自完整生成过程的变量 (boldsymbol x_{t(i+1)})，令损失函数 (mathcal L=||hat{boldsymbol x}_{t(i+1)}-boldsymbol x_{t(i+1)}||_2^2)，使用基于 QR 分解的最小二乘求解算法，在保证数值稳定性的前提下计算出最优参数，构成新的调度机算法。我们称这个新的调度机算法为 OLSS (Optimal Linear Subspace Search)。
我们在下图中提供了这个过程的几何解释，在完整生成过程中 (boldsymbol x_{t-1}intext{span}{boldsymbol x_t, boldsymbol e_t})；由 DDIM 调度机构造的近似过程中，若跳过( boldsymbol x_t)，那么 (hat{boldsymbol x}_{t-1}intext{span}{boldsymbol x_{t+1}, boldsymbol e_{t+1}})；而在由 OLSS 构造的近似过程中，若跳过 (boldsymbol x_t)，则在一个更高维线性子空间 (text{span}{boldsymbol x_T,boldsymbol e_T,dots,boldsymbol e_{t+1}})中计算( hat{boldsymbol x}_{t-1})，具有更低的误差
此外，为了进一步降低这个算法的误差，我们还对 ({t(1),dots,t(n)})进行了调整。具体地，设计了一个启发式的路径规划算法，分为以下三部分：
其中算法 1 利用贪心策略搜索下一步的(t(i))，算法 2 调用算法 1 搜索在误差上届 (D)下是否存在这样的路径，算法 3 调用算法 2 搜索最低的误差上界。整个路径规划算法可以使 (n)步中的最大误差最小。
实验结果
我们在主流的 Stable Diffusion 1.4 和 Stable Diffusion 2.1 上进行了实验，测试了包括 OLSS 和 OLSS-P（无路径规划版本）在内的 8 个调度机算法，使用 5 步、10 步、20 步的算法与 100 步、1000 步的算法比较，FID 结果（越小越好）如下表所示：
我们可以明显看出，在同等步数下，OLSS 比其他调度机算法能够实现更高的图像质量，这证明了 OLSS 方法的巨大优越性。此外，从以下例子中我们也可以明显看出 OLSS 在极少步数下的效果：
目前 OLSS 已经在 EasyNLP（https://github.com/alibaba/EasyNLP/tree/master/diffusion/olss_scheduler）开源。欢迎广大用户试用！
参考文献
- Bingyan Liu, Weifeng Lin, Zhongjie Duan, Chengyu Wang, Ziheng Wu, Zipeng Zhang, Kui Jia, Lianwen Jin, Cen Chen, Jun Huang. Rapid Diffusion: Building Domain-Specific Text-to-Image Synthesizers with Fast Inference Speed. In the 61st Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics (Industry Track).
- Chengyu Wang, Minghui Qiu, Taolin Zhang, Tingting Liu, Lei Li, Jianing Wang, Ming Wang, Jun Huang, Wei Lin. EasyNLP: A Comprehensive and Easy-to-use Toolkit for Natural Language Processing. In the 2022 Conference on Empirical Methods in Natural Language Processing (Demo Track).
- Jiaming Song, Chenlin Meng, and Stefano Ermon. 2020. Denoising Diffusion Implicit Models. In International Conference on Learning Representations.
- Tero Karras, Miika Aittala, Timo Aila, and Samuli Laine. 2022. Elucidating the design space of diffusion-based generative models. Advances in Neural Information Processing Systems 35 (2022), 26565–26577.
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论文信息
论文标题：Optimal Linear Subspace Search: Learning to Construct Fast and High-Quality Schedulers for Diffusion Models
论文作者：段忠杰、汪诚愚、陈岑、黄俊、钱卫宁
论文pdf链接：https://arxiv.org/abs/2305.14677
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