文章目录

线性变换与矩阵
- 线性变换与二阶方阵
- 常见的线性变换
- 复合变换与矩阵乘法
- 矩阵的定义
- 列空间与基
- 矩阵的秩
- 逆变换与逆矩阵

线性变换与矩阵

线性变换与二阶方阵

本节从二维平面出发学习线性代数。通常选用平面坐标系

Oxy

$O x y$ ，基向量为

mathbf i, mathbf j

$i, j$ ，平面内的任意向量都可以写成基向量的线性组合

mathbf v=xmathbf i+ymathbf j

$v = x i + y j$
这样，平面内的点和有序实数对

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 一一对应。借助平面坐标系，我们可以从代数的角度来研究几何变换。

变换与函数类似，函数把数映射到数，变换把点(向量)映射到点(向量)。

↦

(

)

T:quad mathbf vmapsto T(mathbf v)

$T : v \mapsto T (v)$

例如，(1) 平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 绕原点

$O$ 逆时针方向旋转

60degree

$60$ 角得到点

′

(

′

)

P'(x’,y’)

$P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，坐标变换公式为

{

′

−

′

begin{cases} x’=frac{1}{2}x-frac{sqrt 3}{2}y \ y’=frac{sqrt 3}{2}x+frac{1}{2}y end{cases}

${x^{'} = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

yy′=23

x+21y
可写为向量形式

[

′

]

[

]

[

−

]

begin{bmatrix}x’\y’end{bmatrix}= xbegin{bmatrix}frac{1}{2}\frac{sqrt 3}{2}end{bmatrix}+ ybegin{bmatrix}-frac{sqrt 3}{2}\frac{1}{2}end{bmatrix}

$[x^{'} y^{'}] = x [\frac{1}{2} \frac{3}{2}$

]+y[−23

21]

(2) 平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 关于

$y$ 轴的对称点

′

(

′

)

P'(x’,y’)

$P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的表达式为

{

′

−

′

begin{cases} x’=-x \ y’=y end{cases}

${x^{'} = - x y^{'} = y$
可写为向量形式

[

′

]

[

−

]

[

]

begin{bmatrix}x’\y’end{bmatrix}= xbegin{bmatrix}-1\0end{bmatrix}+ ybegin{bmatrix}0\1end{bmatrix}

$[x^{'} y^{'}] = x [- 1 0] + y [01]$

事实上，在平面坐标系

Oxy

$O x y$ 中，很多几何变换都具有如下坐标变换公式

{

′

begin{cases} x’=ax+by \ y’=cx+dy end{cases}

${x^{'} = a x + b y y^{'} = c x + d y$
向量形式为

[

′

]

[

]

[

]

begin{bmatrix}x’\y’end{bmatrix}= xbegin{bmatrix}a\cend{bmatrix}+ ybegin{bmatrix}b\dend{bmatrix}

$[x^{'} y^{'}] = x [a c] + y [b d]$
其中

(

′

)

(x’,y’)

$(x^{'}, y^{'})$ 为平面内任意一点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 变换后的点。我们把形如上式的几何变换叫做平面线性变换。

容易证明，线性变换满足下列两条性质

(1) 可加性：

(

)

(

)

(

)

T(mathbf v+mathbf w)=T(mathbf v)+T(mathbf w)

$T (v + w) = T (v) + T (w)$
(2) 伸缩性：

(

)

(

)

T(cmathbf v)=cL(mathbf v)

$T (c v) = c L (v)$

事实上，这两条性质才是线性变换的严格定义。

为了进一步了解线性变换的本质，取任意向量

mathbf v=xmathbf i+ymathbf j

$v = x i + y j$ ，在线性变换

$T$ 的作用下

(

)

(

)

(

)

(

)

T(mathbf v)=T(xmathbf i+ymathbf j)=xT(mathbf i)+yT(mathbf j)

$T (v) = T (x i + y j) = x T (i) + y T (j)$
可知，变换后的向量

(

)

T(mathbf v)

$T (v)$ 由变换后的基向量以同样的系数完全确定。设变换后的基向量分别为

(

)

[

]

(

)

[

]

T(mathbf i)=amathbf i+cmathbf j=begin{bmatrix}a\cend{bmatrix},quad T(mathbf j)=bmathbf i+dmathbf j=begin{bmatrix}b\dend{bmatrix}

$T (i) = a i + c j = [a c], T (j) = b i + d j = [b d]$

注意：本章线性变换中的坐标始终使用最初的

O

x

y

Oxy

$O x y$ 坐标系。

于是，线性变换

↦

(

)

T:mathbf vmapsto T(mathbf v)

$T : v \mapsto T (v)$ 对应的坐标运算为

[

′

]

[

]

[

]

begin{bmatrix}x’\y’end{bmatrix}= xbegin{bmatrix}a\cend{bmatrix}+ ybegin{bmatrix}b\dend{bmatrix}

$[x^{'} y^{'}] = x [a c] + y [b d]$
由于上述变换由变换后的基向量唯一确定，我们可以按顺序写为数表的形式

我们把这个数表称为二阶矩阵，一般用大写英文字母表示。变换后的向量则定义为矩阵与向量的乘积

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

begin{bmatrix}a & b\c & dend{bmatrix}begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}= xbegin{bmatrix} a \ c end{bmatrix}+ ybegin{bmatrix} b \ d end{bmatrix}= begin{bmatrix} ax+by \ cx+dy end{bmatrix}

$[a c b d] [x y] = x [a c] + y [b d] = [a x + b y c x + d y]$
可知，矩阵代表一个特定的线性变换，我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量，矩阵向量乘法就是将线性变换作用于给定向量。

Grant：矩阵最初的定义就来自线性变换。

至此，任何一个线性变换都可以写为矩阵与向量乘积的形式。反之，确定了坐标系后，任何一个矩阵都唯一确定了一个线性变换。矩阵和向量的乘积与线性变换实现了一一对应。

一般地，直线在线性变换后仍然保持直线。

证明：如图

$l$ 为向量

mathbf w_1,mathbf w_2

$w_{1}, w_{2}$ 终点所确定的直线，

mathbf v

$v$ 为终点在直线

$l$ 上的任意向量。

(

−

)

(

−

)

(

∈

)

mathbf v=mathbf w_1+lambda(mathbf w_2-mathbf w_1)=(1-lambda)mathbf w_1+lambda mathbf w_2 quad (lambdainR)

$v = w_{1} + (w_{2} - w_{1}) = (1 -) w_{1} + w_{2} (\in R)$
令

lambda_1+lambda_2=1

$_{1} +_{2} = 1$ 则

mathbf v=lambda_1 mathbf w_1+lambda_2 mathbf w_2

$v =_{1} w_{1} +_{2} w_{2}$
这就是由向量

mathbf w_1,mathbf w_2

$w_{1}, w_{2}$ 的终点所确定的直线的向量形式。由线性变换的基本性质可知，直线

$l$ 在线性变换

$A$ 的作用下变成

′

(

)

mathbf v’=A(lambda_1 mathbf w_1+lambda_2 mathbf w_2)=lambda_1 Amathbf w_1+lambda_2 Amathbf w_2

$v^{'} = A (_{1} w_{1} +_{2} w_{2}) =_{1} A w_{1} +_{2} A w_{2}$
(1) 如果

≠

Amathbf w_1neq Amathbf w_2

$A w_{1} \neq = A w_{2}$ ，那么

′

mathbf v’

$v^{'}$ 表示由向量

Amathbf w_1,Amathbf w_2

$A w_{1}, A w_{2}$ 的终点确定的直线。此时矩阵

$A$ 对应的线性变换把直线变成直线；
(2) 如果

Amathbf w_1 = Amathbf w_2

$A w_{1} = A w_{2}$ ，那么

lambda_1 Amathbf w_1+lambda_2 Amathbf w_2=Amathbf w_1

$_{1} A w_{1} +_{2} A w_{2} = A w_{1}$ 。由于向量

Amathbf w_1

$A w_{1}$ 的终点是一个确定的点，因而，矩阵

$A$ 所对应的线性变换把直线

$l$ 映射成了一个点

Amathbf w_1

$A w_{1}$ 。

常见的线性变换

Grant：我们可以使用无限网格刻画二维空间所有点的变换。线性变换是操作空间的一种手段，它能够保持网格线平行且等距，并保持原点不动。

我们已经知道，在线性变换的作用下，直线仍然保持直线(或一个点)。为了方便，我们只考虑在平面直角坐标系内，单位正方形区域的线性变换。

根据向量加法的平行四边形法则，单位正方形区域可用向量形式表示为

[

]

(

⩽

)

begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=xmathbf i+ymathbf j quad(0leqslant x,yleqslant 1)

$[x y] = x i + y j (0 ⩽ x, y ⩽ 1)$
由线性变换基本性质知，变换后的区域为

[

]

(

)

(

)

(

⩽

)

Abegin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=x(Amathbf i)+y(Amathbf j) quad(0leqslant x,yleqslant 1)

$A [x y] = x (A i) + y (A j) (0 ⩽ x, y ⩽ 1)$

表示以

Amathbf i,Amathbf j

$A i, A j$ 为邻边的平行四边形区域。因此，我们只需考虑单位向量

mathbf i,mathbf j

$i, j$ 在线性变换作用下的结果，就能得到单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形。

恒等变换：把平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 变成它本身，记为

$I$ 。对应的矩阵称为单位阵

[

]

begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}

$[1001]$

旋转变换：(rotations)平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 绕原点

$O$ 按逆时针方向旋转

theta

角，记为

R_{theta}

$R$ 。对应的矩阵为

[

cos

⁡

−

sin

⁡

sin

⁡

cos

⁡

]

begin{bmatrix} costheta & -sintheta\ sintheta & costheta end{bmatrix}

$[cos sin - sin cos]$

切变变换：(shears)平行于

$x$ 轴的切变变换对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 1 & k\ 0 & 1 end{bmatrix}

$[10 k 1]$
类似的，平行于

$y$ 轴的切变变换对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 1 & 0\ k & 1 end{bmatrix}

$[1 k 01]$

反射变换：(reflection)一般的我们把平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 关于直线

$l$ 对称的线性变换叫做关于直线

$l$ 的反射变换。

(1) 关于

$y$ 轴的反射变换对应的矩阵为

[

−

]

begin{bmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}

$[- 1 0 01]$
(2) 关于直线

y=x

$y = x$ 的反射变换对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 0 & 1\ 1 & 0 end{bmatrix}

$[0110]$
(3) 关于直线

y=kx

$y = k x$ 的反射变换对应的矩阵为

[

−

]

frac{1}{k^2+1}begin{bmatrix} 1-k^2 & 2k\ 2k & k^2-1 end{bmatrix}

$\frac{1}{k ^{2} + 1} [1 - k^{2} 2 k 2 k k^{2} - 1]$

伸缩变换：(stretching)将每个点的横坐标变为原来的

k_1

$k_{1}$ 倍，纵坐标变为原来的

k_2

$k_{2}$ 倍，其中

≠

k_1,k_2neq0

$k_{1}, k_{2} \neq = 0$ 。对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} k_1 & 0\ 0 & k_2 end{bmatrix}

$[k_{1} 0 0 k_{2}]$

投影变换：(projection)平面内任意一点

(

)

P(x,y)

$P (x, y)$ 在直线

$l$ 的投影称为关于直线

$l$ 的投影变换。

(1) 关于

$x$ 轴的投影变换对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix}

$[1000]$
(2) 关于

$y$ 轴的投影变换对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}

$[0001]$
(3) 关于直线

y=kx

$y = k x$ 的投影变换对应的矩阵为

[

]

frac{1}{sqrt{k^2+1}}begin{bmatrix} 1 & k\ k & k^2 end{bmatrix}

$k ^{2} + 1$

1[1kkk2]

平移变换：形如

(

)

↦

(

)

(x,y)mapsto (x+h,y+k)

$(x, y) \mapsto (x + h, y + k)$ 的平移变换并不是线性变换，我们无法直接使用矩阵向量乘法。对此可以引入齐次坐标：平面内的每个点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 都可以对应于空间中的点

(

)

(x,y,1)

$(x, y, 1)$ 。平移变换可以用齐次坐标写成变换

(

)

↦

(

)

T:(x,y,1)mapsto (x+h,y+k,1)

$T : (x, y, 1) \mapsto (x + h, y + k, 1)$ ，对应的矩阵为

[

]

begin{bmatrix} 1 & 0 & h \ 0 & 1 & k \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

100010hk1

复合变换与矩阵乘法

平面内任意一向量，依次做旋转变换

[

cos

⁡

−

sin

⁡

sin

⁡

cos

⁡

]

R_{theta_1}:begin{bmatrix} cos{theta_1} & -sin{theta_1}\ sin{theta_1} & cos{theta_1} end{bmatrix}

$R_{_{1}} : [cos_{1} sin_{1} - sin_{1} cos_{1}]$ 和

[

cos

⁡

−

sin

⁡

sin

⁡

cos

⁡

]

R_{theta_2}:begin{bmatrix} cos{theta_2} & -sin{theta_2}\ sin{theta_2} & cos{theta_2} end{bmatrix}

$R_{_{2}} : [cos_{2} sin_{2} - sin_{2} cos_{2}]$

很显然最终作用的效果可以用一个变换

R_{theta_1+theta_2}

$R_{_{1} +_{2}}$ 来表示，对应的矩阵为

[

cos

⁡

(

)

−

sin

⁡

(

)

sin

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

]

begin{bmatrix} cos{(theta_1+theta_2)} & -sin{(theta_1+theta_2)}\ sin{(theta_1+theta_2)} & cos{(theta_1+theta_2)} end{bmatrix}

$[cos (_{1} +_{2}) sin (_{1} +_{2}) - sin (_{1} +_{2}) cos (_{1} +_{2})]$
旋转变换

R_{theta_1+theta_2}

$R_{_{1} +_{2}}$ 仍然是线性变换。

一般地，设矩阵

[

]

[

]

A=begin{bmatrix}a_1 & b_1\ c_1 & d_1end{bmatrix},B=begin{bmatrix}a_2 & b_2\ c_2 & d_2end{bmatrix}

$A = [a_{1} c_{1} b_{1} d_{1}], B = [a_{2} c_{2} b_{2} d_{2}]$ ，他们对应的线性变换分别为

$f$ 和

$g$ 。

平面上任意一个向量

[

]

mathbf v=begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}

$v = [x y]$ 依次做变换

$g$ 和

$f$ ，其作用效果为

(

)

(

)

f(g(mathbf v))=A(Bmathbf v)

$f (g (v)) = A (B v)$

Grant：线性变换的本质主要在于追踪基向量变换后的位置。

接下来，我们追踪变换过程中基向量的位置。由矩阵向量乘法的定义知道，基向量

mathbf i,mathbf j

$i, j$ 经过矩阵

$B$ 变换后(第一次变换)的位置为

[

]

[

]

Bmathbf i=begin{bmatrix}a_2\c_2end{bmatrix},quad Bmathbf j=begin{bmatrix}b_2\d_2end{bmatrix}

$B i = [a_{2} c_{2}], B j = [b_{2} d_{2}]$
基向量

Bmathbf i,Bmathbf j

$B i, B j$ 又经过矩阵

$A$ 变换后的最终位置为

′

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

′

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

mathbf i’:begin{bmatrix}a_1 & b_1\ c_1 & d_1end{bmatrix} begin{bmatrix}a_2\ c_2end{bmatrix}= a_2begin{bmatrix}a_1\ c_1end{bmatrix}+ c_2begin{bmatrix}b_1\d_1end{bmatrix}= begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 \ c_1a_2+d_1c_2end{bmatrix} \ mathbf j’:begin{bmatrix}a_1 & b_1\ c_1 & d_1end{bmatrix} begin{bmatrix}b_2\ d_2end{bmatrix}= b_2begin{bmatrix}a_1\ c_1end{bmatrix}+ d_2begin{bmatrix}b_1\d_1end{bmatrix}= begin{bmatrix}a_1b_2+b_1d_2\c_1b_2+d_1d_2end{bmatrix}

$i^{'} : [a_{1} c_{1} b_{1} d_{1}] [a_{2} c_{2}] = a_{2} [a_{1} c_{1}] + c_{2} [b_{1} d_{1}] = [a_{1} a_{2} + b_{1} c_{2} c_{1} a_{2} + d_{1} c_{2}] j^{'} : [a_{1} c_{1} b_{1} d_{1}] [b_{2} d_{2}] = b_{2} [a_{1} c_{1}] + d_{2} [b_{1} d_{1}] = [a_{1} b_{2} + b_{1} d_{2} c_{1} b_{2} + d_{1} d_{2}]$
从而，对任意向量

[

]

mathbf v=begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}

$v = [x y]$ 依次做变换

$B$ 和

$A$ ，其总体作用效果为

(

)

′

[

]

[

]

A(Bmathbf v)=xmathbf i’+ymathbf j’=begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}

$A (B v) = x i^{'} + y j^{'} = [a_{1} a_{2} + b_{1} c_{2} c_{1} a_{2} + d_{1} c_{2} a_{1} b_{2} + b_{1} d_{2} c_{1} b_{2} + d_{1} d_{2}] [x y]$
这也是一个线性变换，我们称为复合变换(composite transformation)，记为

∘

fcirc g

$f \circ g$ 。

在此，我们定义复合变换

∘

fcirc g

$f \circ g$ 为矩阵

A,B

$A, B$ 的乘积，记为

[

]

[

]

[

]

AB=begin{bmatrix}a_1 & b_1\ c_1 & d_1end{bmatrix} begin{bmatrix}a_2 & b_2\ c_2 & d_2end{bmatrix}= begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2end{bmatrix}

$A B = [a_{1} c_{1} b_{1} d_{1}] [a_{2} c_{2} b_{2} d_{2}] = [a_{1} a_{2} + b_{1} c_{2} c_{1} a_{2} + d_{1} c_{2} a_{1} b_{2} + b_{1} d_{2} c_{1} b_{2} + d_{1} d_{2}]$

注意：矩阵乘积的次序与复合变换相同，从右向左相继作用。

由定义易知，对任意向量

mathbf v

$v$ 有

(

)

(

)

(AB)mathbf v=A(Bmathbf v)

$(A B) v = A (B v)$

矩阵的定义

接下来，我们将矩阵的概念推广到高维空间。高维线性空间中的变换与二维空间中的变换类似。

矩阵:

mtimes n

$m n$ 个数按一定次序排成的数表称为矩阵

[

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

]

begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n} \ a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n} \ vdots&vdots&ddots&vdots \ a_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn} \ end{bmatrix}

a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn

常用大写英文字母表示矩阵，如

$A$ 或

A_{m n}

$A_{m n}$ 。矩阵中的每个数

a_{ij}

$a_{ij}$ 称为它的元素(entry)，有时矩阵也记作

(

)

(a_{ij})

$(a_{ij})$ 或

(

)

(a_{ij})_{m n}

$(a_{ij})_{m n}$ 。根据矩阵的元素所属的数域，可以将矩阵分为复矩阵和实矩阵。

几种特殊的矩阵：

元素全为零的矩阵称为零矩阵(zero matrix)，记作
只有一行的矩阵称为行矩阵(row matrix)或行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵(column matrix)或列向量。行(列)矩阵通常用小写黑体字母表示，如
当行数和列数相等时的矩阵 $A_{ntimes n} Ann 称为** n n n 阶方阵**(n-order square matrix)。$
不在主对角线上的元素全为零的方阵称为对角阵(diagonal matrix)，记作 $mathrm{diag}(a_1,a_2,cdots,a_n) diag(a1,a2,⋯,an)$
主对角线上的元素全为1的对角阵，称为单位阵(identity matrix)。记 $E_n En或 I n I_n In$

矩阵的线性运算：因为矩阵

A_{mtimes n}

$A_{m n}$ 的各列是

$m$ 维向量，写作

[

服务器托管网

⋯

]

A=begin{bmatrix}mathbf a_1&mathbf a_2&cdots&mathbf a_nend{bmatrix}

$A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}]$ ，因此矩阵可看作向量集，向量的线性运算自然推广到矩阵。

设矩阵

(

)

A=(a_{ij})

$A = (a_{ij})$ 与

(

)

B=(b_{ij})

$B = (b_{ij})$

他们的对应元素完全相同 $a_{ij}=b_{ij} aij=bij，则称矩阵 A A A 与 B B B 相等，记作 A = B A=B A=B；$
矩阵的加法定义为 $A+B=(a_{ij}+b_{ij}) A+B=(aij+bij)$
矩阵的数乘定义为 $kA=(ka_{ij}) kA=(kaij)$

{% label 性质 orange %}：线性运算满足以下性质

加法交换律：
加法结合律：
零矩阵：
负矩阵：
数乘结合律：
数乘分配律：
数乘分配律：
数乘单位元：

矩阵向量的乘法：矩阵与向量的乘法来源于线性变换，它有着直观的、深刻的几何背景。设

mtimes n

$m n$ 维矩阵

(

)

A=(a_{ij})

$A = (a_{ij})$ 与

$n$ 维向量

(

⋯

)

mathbf v=(x_1,x_2,cdots,x_n)^T

$v = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ 的乘积

[

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

]

[

⋮

]

[

⋮

]

⋯

[

⋮

]

[

∑

⋮

∑

]

begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n} \ a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n} \ vdots&vdots&ddots&vdots \ a_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn} \ end{bmatrix} begin{bmatrix}x_1\x_2\vdots\x_nend{bmatrix}= x_1begin{bmatrix}a_{11}\a_{21}\vdots\a_{m1}end{bmatrix}+cdots+ x_nbegin{bmatrix}a_{1n}\a_{2n}\vdots\a_{mn}end{bmatrix}= begin{bmatrix}sum_{j=1}^na_{1j}x_j\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\vdots\sum_{j=1}^na_{mj}x_jend{bmatrix}

a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn

x1x2⋮xn

=x1

a11a21⋮am1

+⋯+xn

a1na2n⋮amn

∑j=1na1jxj∑j=1na2jxj⋮∑j=1namjxj

一般地，

mtimes n

$m n$ 维的矩阵，表示将

$n$ 维空间中的向量映射到

$m$ 维空间中。矩阵的第

$j$ 列表示第

$j$ 个基向量变换后的坐标。

矩阵乘法：矩阵与矩阵乘法来源于复合线性变换。设矩阵

(

)

A=(a_{ij})_{mtimes n}

$A = (a_{ij})_{m n}$ 与

(

)

B=(b_{ij})_{ntimes p}

$B = (b_{ij})_{n p}$ ，向量

(

⋯

)

mathbf v=(x_1,x_2,cdots,x_p)

$v = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p})$ ，用

⋯

mathbf b_1,mathbf b_2,cdots,mathbf b_p

$b_{1}, b_{2}, \dots, b_{p}$ 表示矩阵

$B$ 的各列，则

⋯

Bmathbf v=x_1mathbf b_1+x_2mathbf b_2+cdots+x_pmathbf b_p

$B v = x_{1} b_{1} + x_{2} b_{2} + \dots + x_{p} b_{p}$
由线性变换的性质

(

)

(

)

(

)

⋯

(

)

2
服务器托管网

⋯

[

⋯

]

begin{aligned} A(Bmathbf v)&=A(x_1mathbf b_1)+A(x_2mathbf b_2)+cdots+A(x_pmathbf b_p) \ &=x_1Amathbf b_1+x_2Amathbf b_2+cdots+x_pAmathbf b_p \ &=begin{bmatrix}Amathbf b_1&Amathbf b_2&cdots&Amathbf b_pend{bmatrix}mathbf v end{aligned}

$A (B v) = A (x_{1} b_{1}) + A (x_{2} b_{2}) + \dots + A (x_{p} b_{p}) = x_{1} A b_{1} + x_{2} A b_{2} + \dots + x_{p} A b_{p} = [A b_{1} A b_{2} \dots A b_{p}] v$
于是可定义矩阵的乘积

$A B$ 为

mtimes p

$m p$ 矩阵

[

⋯

]

[

⋯

]

AB=Abegin{bmatrix}mathbf b_1&mathbf b_2&cdots&mathbf b_pend{bmatrix}= begin{bmatrix}Amathbf b_1&Amathbf b_2&cdots&Amathbf b_pend{bmatrix}

$A B = A [b_{1} b_{2} \dots b_{p}] = [A b_{1} A b_{2} \dots A b_{p}]$
矩阵

$A$ 的列数必须和

$B$ 的行数相等，乘积才有意义。之前定义的矩阵向量乘法是矩阵乘法的特例。通常，更方便的方法是用元素定义矩阵乘法。设乘积

(

)

AB=(c_{ij})_{m p}

$A B = (c_{ij})_{m p}$ 。则元素

⋯

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+cdots+a_{ip}b_{pj}

$c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i p} b_{p j}$
{% label 性质 orange %}：矩阵乘法满足以下性质

矩阵乘法满足结合率：
矩阵乘法满足左分配律：
矩阵乘法满足右分配律：
矩阵乘法满足数乘分配律：
矩阵乘法单位元：

证明：(1) 可从矩阵乘法的定义证明满足结合率。从线性变换角度来看，对于复合变换

(

)

A(BC)

$A (BC)$ 和

(

)

(AB)C

$(A B) C$ 是同样的变换，且依次作用的顺序并不会发生改变，变换的最终结果自然不变。

→

mathbf vxrightarrow{C}Cmathbf vxrightarrow{B}BCmathbf vxrightarrow{A}ABCmathbf v

$v C$

CvB

BCvA

ABCv

注意：

矩阵乘法不满足交换率，即一般情况下
矩阵乘法不满足消去率，即若

证明：(1) 一般地，复合变换

∘

≠

∘

fcirc gneq gcirc f

$f \circ g \neq = g \circ f$ ，自然

≠

ABneq BA

$A B \neq = B A$ ，矩阵乘法不满足交换率。
(2) 可举例证明矩阵乘法不满足消去率

设矩阵

[

]

[

]

A=begin{bmatrix}0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&1end{bmatrix},quad B=begin{bmatrix}0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0end{bmatrix}

$A =$

000100011

,B=

000000100

则有

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

≠

AB=begin{bmatrix}0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&1end{bmatrix} begin{bmatrix}0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0end{bmatrix}= begin{bmatrix}0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0end{bmatrix}=O \ BA=begin{bmatrix}0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0end{bmatrix} begin{bmatrix}0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&1end{bmatrix}= begin{bmatrix}0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0end{bmatrix}neq O

$A B =$

000100011

000000100

000000000

=OBA=

000000100

000100011

000000100

=O

列空间与基

定义：为方便使用，先介绍几个简单的定义

线性变换是一种映射，称变换后的向量
线性变换
在前面几节的分析中，我们始终将矩阵的列看成是向量。而这些列向量所张成的空间，称为列空间，若 $a_1,mathbf a_2,cdots,mathbf a_n) A=(a1,a2,⋯,an) col A = span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } text{col }A=text{span}{mathbf a_1,mathbf a_2,cdots,mathbf a_n} colA=span{a1,a2,⋯,an}$

我们已经知道，变换后的向量

Amathbf v

$A v$ 是变换后的基向量以同样的系数线性组合，而矩阵的列就是基向量变换之后的位置。因此，矩阵

$A$ 线性变换后的空间即是矩阵

$A$ 的列空间

col

range

{

∣

∈

}

text{col }A=text{range }A={Amathbf vmidmathbf vin V}

$col A = range A = {A v ∣ v \in V}$
定理：矩阵

$A$ 的主元列构成

col

text{col }A

$col A$ 的一组基。

下面两个例子给出对列空间求基的简单算法。

例1：求

Col

text{Col }B

$Col B$ 的一组基，其中

(

⋯

)

[

−

]

B=(mathbf b_1,mathbf b_2,cdots,mathbf b_n)=begin{bmatrix}1&4&0&2&0\ 0&0&1&-1&0\ 0&0&0&0&1\0&0&0&0&0end{bmatrix}

$B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) =$

1000400001002−1000010

事实上，

$B$ 的每个非主元列都是主元列的线性组合

−

mathbf b_2=4mathbf b_1,mathbf b_4=2mathbf b_1-mathbf b_3

$b_{2} = 4 b_{1}, b_{4} = 2 b_{1} - b_{3}$ 且主元列时线性无关的，所以主元列构成列空间的一组基

col

span

{

}

text{col }B=text{span }{mathbf b_1,mathbf b_3,mathbf b_5}

$col B = span {b_{1}, b_{3}, b_{5}}$ 。

当矩阵不是阶梯型矩阵时，回顾矩阵

(

⋯

)

A=(mathbf a_1,mathbf a_2,cdots,mathbf a_n)

$A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 中列向量间的线性关系都可以用方程

Amathbf x=0

$A x = 0$ 的形式刻画。当

$A$ 被行简化为阶梯型矩阵

(

⋯

)

B=(mathbf b_1,mathbf b_2,cdots,mathbf b_n)

$B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 时，即存在可逆矩阵

$P$ 使

B=PA

$B = P A$ 。若

$B$ 的列向量线性相关，即存在系数

mathbf x

$x$ 使得

Bmathbf x=0

$B x = 0$ ，即

⋯

x_1mathbf b_1+x_2mathbf b_2+cdots+x_nmathbf b_n=0

$x_{1} b_{1} + x_{2} b_{2} + \dots + x_{n} b_{n} = 0$
同样的系数

mathbf x

$x$ 也适用于矩阵

$A$ 的列向量，

−

Amathbf x=P^{-1}Bmathbf x=0

$A x = P^{- 1} B x = 0$ ，即

⋯

x_1mathbf a_1+x_2mathbf a_2+cdots+x_nmathbf a_n=0

$x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n} = 0$
综上，即矩阵

$A$ 的列与阶梯型矩阵

$B$ 的列具有完全相同的线性相关关系。

例2：

(

⋯

)

[

−

]

A=(mathbf a_1,mathbf a_2,cdots,mathbf a_n)=begin{bmatrix}1&4&0&2&-1\ 3&12&1&5&5\ 2&8&1&3&2\5&20&2&8&8end{bmatrix}

$A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) =$

132541282001122538−1528

已知矩阵

$A$ 行等价于上例中的矩阵

$B$ ，求

Col

text{Col }A

$Col A$ 的一组基。

由于上例中

−

mathbf b_2=4mathbf b_1,mathbf b_4=2mathbf b_1-mathbf b_3

$b_{2} = 4 b_{1}, b_{4} = 2 b_{1} - b_{3}$ ，相关关系完全适用于矩阵

$A$ 的列向量

−

mathbf a_2=4mathbf a_1,mathbf a_4=2mathbf a_1-mathbf a_3

$a_{2} = 4 a_{1}, a_{4} = 2 a_{1} - a_{3}$ 。于是线性无关集

mathbf a_1,mathbf a_3,mathbf a_5

$a_{1}, a_{3}, a_{5}$ 是

Col

text{Col }A

$Col A$ 的一组基

col

span

{

}

text{col }A=text{span }{mathbf a_1,mathbf a_3,mathbf a_5}

$col A = span {a_{1}, a_{3}, a_{5}}$ 。

注意：阶梯形矩阵的主元列通常不在原矩阵的列空间中。

矩阵的秩

矩阵的秩就是列空间的维度，记作

rank

dim

⁡

(

col

)

text{rank }A=dim(text{col }A)

$rank A = dim (col A)$ 。

前面介绍的都是方阵，表示向量空间到自身的映射。下面简单说下非方阵的映射关系。

一般地，

mtimes n

$m n$ 维的矩阵，表示将

$n$ 维空间中的向量映射到

$m$ 维空间中。矩阵的第

$j$ 列表示第

$j$ 个基向量变换后的坐标。例如：

3times 2

$32$ 维矩阵是把二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列，说明输入空间有两个基向量，三行表示每一个基向量在变换后用三个独立的坐标来描述。

[

−

]

[

]

[

]

[

−

]

begin{bmatrix}1&-1\3&2\0&3end{bmatrix} begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}= begin{bmatrix}1\3\0end{bmatrix}x+ begin{bmatrix}-1\2\3end{bmatrix}y

130−123

[xy]=

130

−123

2times 3

$23$ 维矩阵是把三维空间映射到二维空间上，因为矩阵有三列，说明输入空间有三个基向量，二行表示每一个基向量在变换后用二个独立的坐标来描述。

[

−

]

[

]

[

]

[

]

[

−

]

begin{bmatrix}2&2&1\1&0&-1end{bmatrix} begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}= begin{bmatrix}2\1end{bmatrix}x+ begin{bmatrix}2\0end{bmatrix}y+ begin{bmatrix}1\-1end{bmatrix}z

$[2120 1 - 1]$

xyz

=[21]x+[20]y+[1−1]z

若矩阵的秩等于列数，则称为满秩矩阵(full rank matrix)，零向量一定在列空间内，满秩变换中，唯一能落在原点的就是零向量自身。满秩矩阵的列即为列空间的基。

对于非满秩矩阵，意味着该线性变换会将空间压缩到一个更低维的空间，通俗来讲，就是会有一系列直线上不同方向的向量压缩为原点。

由此可得，秩可以用来描述线性变换对空间的压缩程度。

逆变换与逆矩阵

我们已经知道了矩阵与线性变换中的对应关系，试想一下，将变换后的向量还原到初始状态。

逆矩阵：对于

$n$ 阶方阵

$A$ ，如果存在

$n$ 阶方阵

$B$ ，使得

AB=BA=I

$A B = B A = I$
则称矩阵

$A$ 可逆(invertible)，

$B$ 是

$A$ 的逆矩阵。实际上，

$A$ 的逆矩阵是唯一的，记为

−

A^{-1}

$A^{- 1}$ 。因为，若

B,C

$B, C$ 都是

$A$ 的逆矩阵，则

(

)

(

)

B=(CA)B=C(AB)=C

$B = (C A) B = C (A B) = C$

不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为非奇异矩阵。

{% label 性质 orange %}：逆矩阵满足下列性质

$(A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A$
$(kA)^{-1}=dfrac{1}{k}A^{-1},quad(kneq0) (kA)−1=k1A−1,(k=0)$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T$

证明：(性质3)若方阵

A,B

$A, B$ 都可逆，则有

(

)

(

−

)

(

−

)

(

)

(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I

$(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = (B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = I$
因此

(

)

−

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。

从变换的角度考虑，复合变换的逆

(

∘

)

−

∘

−

(fcirc g)^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}

$(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ ，很容易理解。

(性质4)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

I=(AA^{-1})^T=(A^{-1})^TA^T,quad I=(A^{-1}A)^T=A^T(A^{-1})^T

$I = (A A^{- 1})^{T} = (A^{- 1})^{T} A^{T}, I = (A^{- 1} A)^{T} = A^{T} (A^{- 1})^{T}$
因此

(

)

−

(

−

)

(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ 。

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线性代数的本质(二)——线性变换与矩阵线性变换与矩阵

文章目录

线性变换与矩阵

线性变换与二阶方阵

常见的线性变换

复合变换与矩阵乘法

矩阵的定义

列空间与基

矩阵的秩

逆变换与逆矩阵

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