【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二：应力应变分析(2)

1.4 主应力空间、八面体应力

一点的应力状态不论如何变化，其主应力和主方向一致的话，该点的应力状态就是唯一确定的。因此，我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性，该坐标系如下图4，我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体，图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量

(

p

1

,

p

2

,

p

3

)

(p_1,p_2,p_3)

(p1​,p2​,p3​)，八面体为等倾面八面体，即面ABC的法线方向余弦为

(

1

3

,

1

3

,

1

3

)

(frac{1}{sqrt 3},frac{1}{sqrt 3},frac{1}{sqrt 3})

(3

​1​,3

​1​,3

​1​)。将O’P分解

O

’

P

‾

=

O

’

Q

‾

+

O

’

N

‾

(25)

overline {O’P}=overline {O’Q}+overline{O’N}tag{25}

O’P=O’Q​+O’N(25)

图

4

八面体

图4八面体

图4八面体
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象，如下图5所示。

图

5

等倾面四面体

图5等倾面四面体

图5等倾面四面体
根据斜面应力公式

p

j

=

i

j

n

i

p_j=sigma_{ij}n_i

pj​=ij​ni​，不难得到以下关系式（矩阵形式）

[

p

1

p

2

p

3

]

=

[

1

0

0

0

2

0

0

0

2

]

[

n

1

n

2

n

3

]

(26)

begin{bmatrix} p_1 p_2p_3 end{bmatrix}=begin{bmatrix} sigma_1 & 0 & 0 0 & sigma_2 & 0 & 0 & sigma_2 end{bmatrix}begin{bmatrix} n_1 n_2n_3 end{bmatrix}tag{26}

​p1​p2​p3​​

​=

​1​00​02​0​002​​

​

​n1​n2​n3​​

​(26)

其中

(

n

1

,

n

2

,

n

3

)

=

(

1

3

,

1

3

,

1

3

)

(n_1 ,n_2,n_3)=(frac{1}{sqrt 3},frac{1}{sqrt 3},frac{1}{sqrt 3})

(n1​,n2​,n3​)=(3

​1​,3

​1​,3

​1​)为等倾面的法线方向余弦。
那么，有

8

=

[

n

1

n

2

n

3

]

[

p

1

p

2

p

3

]

=

1

n

1

2

+

2

n

2

2

+

3

n

3

2

=

1

3

(

1

+

2

+

3

)

=

1

3

I

1

(27)

sigma_8 = begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 end{bmatrix}begin{bmatrix} p_1 p_2p_3 end{bmatrix}=sigma_1n_1^2+sigma_2n_2^2+sigma_3n_3^2=frac{1}{3}(sigma_1+sigma_2+sigma_3)=frac{1}{3}I_1 tag{27}

8​=[n1​​n2​​n3​​]

​p1​p2​p3​​

​=1​n12​+2​n22​+3​n32​=31​(1​+2​+3​)=31​I1​(27)
八面体相应的剪应力为

8

=

p

2

−

8

2

=

p

1

2

+

p

2

2

+

p

3

2

−

(

1

n

1

2

+

2

n

2

2

+

3

n

3

2

)

2

=

1

2

n

1

2

+

2

2

n

2

2

+

3

2

n

3

2

−

(

1

n

1

2

+

2

n

2

2

+

3

n

3

2

)

2

=

1

3

(

1

2

+

2

2

+

3

2

)

−

1

9

(

1

+

2

+

3

)

2

=

1

3

3

(

1

2

+

2

2

+

3

2

)

−

(

1

2

+

2

2

+

3

2

+

2

1

2

+

2

1

3

+

2

2

3

)

=

1

3

(

1

−

2

)

2

+
服务器托管网

(

1

−

3

)

2

+

(

2

−

3

)

2

=

2

3

J

2

=

1

3

s

i

j

s

i

j

(28)

tau_8 = sqrt{p^2-sigma_8^2}=sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2-(sigma_1n_1^2+sigma_2n_2^2+sigma_3n_3^2)^2} =sqrt{sigma_1^2n_1^2+sigma_2^2n_2^2+sigma_3^2n_3^2-(sigma_1n_1^2+sigma_2n_2^2+sigma_3n_3^2)^2} =sqrt{frac{1}{3}(sigma_1^2+sigma_2^2+sigma_3^2)-frac{1}{9}(sigma_1+sigma_2+sigma_3)^2} =frac{1}{3}sqrt{3(sigma_1^2+sigma_2^2+sigma_3^2)-(sigma_1^2+sigma_2^2+sigma_3^2+2sigma_1sigma_2+2sigma_1sigma_3+2sigma_2sigma_3)} =frac{1}{3}sqrt{(sigma_1-sigma_2)^2+(sigma_1-sigma_3)^2+(sigma_2-sigma_3)^2}=sqrt{frac{2}{3}J_2}=sqrt{frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} tag{28}

8​=p2−82​

​=p12​+p22​+p32​−(1​n12​+2​n22​+3​n32​)2

​=12​n12​+22​n22​+32​n32​−(1​n12​+2​n22​+3​n32​)2

​=31​(12​+22​+32​)−91​(1​+2​+3​)2

​=31​3(12​+22​+32​)−(12​+22​+32​+21​2​+21​3​+22​3​)

​=31​(1​−2​)2+(1​−3​)2+(2​−3​)2

​=32​J2​

​=31​sij​sij​

​(28)

1.5 应变分析

应变分析的内容同应力分析内容，只是注意一点，应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的，定义如下。

[

x

x

y

x

z

x

x

y

y

y

z

y

x

z

y

z

z

z

]

=

[

x

x

1

2

y

x

1

2

z

x

1

2

x

y

y

y

1

2

z

y

1

2

x

z

1

2

y

z

z

z

]

(29)

begin{bmatrix} varepsilon_{xx} & varepsilon_{yx} & varepsilon_{zx} varepsilon_{xy} & varepsilon_{yy} & varepsilon_{zy} varepsilon_{xz} & varepsilon_{yz} & varepsilon_{zz} end{bmatrix}= begin{bmatrix} varepsilon_{xx} & frac{1}{2}gamma_{yx} & frac{1}{2}gamma_{zx} frac{1}{2}gamma_{xy} & varepsilon_{yy} & frac{1}{2}gamma_{zy} frac{1}{2}gamma_{xz} & frac{1}{2}gamma_{yz} & varepsilon_{zz} end{bmatrix}tag{29}

​xx​xy​xz​​yx​yy​yz​​zx​zy​zz​​

​=

​xx​21​xy​21​xz​​21​yx​yy​21​yz​​21​zx​21​zy​zz​​

​(29)
同样定义应变偏张量，有如下形式

[

e

x

x

e

y

x

e

z

x

e

x

y

e

y

y

e

z

y

e

x

z

e

y

z

e

z

z

]

=

[

x

x

y

x

z

x

x

y

y

y

z

y

x

z

y

z

z

z

]

−

[

m

0

0

0

m

0

0

0

m

]

(30)

begin{bmatrix} e_{xx} & e_{yx} & e_{zx} e_{xy} & e_{yy} & e_{zy} e_{xz} & e_{yz} & e_{zz} end{bmatrix}= begin{bmatrix} varepsilon_{xx} & varepsilon_{yx} & varepsilon_{zx} varepsilon_{xy} & varepsilon_{yy} & varepsilon_{zy} varepsilon_{xz} & varepsilon_{yz} & varepsilon_{zz} end{bmatrix}-begin{bmatrix} varepsilon_{m} & 0 & 0 0 & varepsilon_{m} & 0 0 & 0 & varepsilon_{m} end{bmatrix}tag{30}

​exx​exy​exz​​eyx​eyy​eyz​​ezx​ezy​ezz​​

​=

​xx​xy​xz​​yx​yy​yz​​zx​zy​zz​​

​−

​m​00​0m​0​00m​​

​(30)
其中

m

=

1

3

(

x

x

+

y

y

+

z

z

)

varepsilon_{m}=frac{1}{3}(varepsilon_{xx}+varepsilon_{yy}+varepsilon_{zz})

m​=31​(xx​+yy​+zz​)

1.6 特殊应力、应变定义

定义应力强度或等效应力

‾

overlinesigma

为

‾

=

3

J

2

=

3

2

s

i

j

s

i

j

=

1

2

[

(

1

−

2

)

2

+

(

1

−

3

)

2

+

(

2

−

3

)

2

]

=

1

2

[

(

x

x

−

y

y

)

2

+

(

x

x

−

z

z

)

2

+

(

y

y

−

z

z

)

2

+

6

(

x

z

2

+

x

y

2

+

y

z

2

)

]

(31)

overlinesigma=sqrt{3J_2}=sqrt{frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}} =sqrt{frac{1}{2}[(sigma_{1}-sigma_{2})^2+(sigma_{1}-sigma_{3})^2+(sigma_{2}-sigma_{3})^2]} =sqrt{frac{1}{2}[(sigma_{xx}-sigma_{yy})^2+(sigma_{xx}-sigma_{zz})^2+(sigma_{yy}-sigma_{zz})^2+6(tau_{xz}^2+tau_{xy}^2+tau_{yz}^2)]} tag{31}

=3J2​

​=23​sij​sij​

​=21​[(1​−2​)2+(1​−3​)2+(2​−3​)2]

​=21​[(xx​−yy​)2+(xx​−zz​)2+(yy​−zz​)2+6(xz2​+xy2​+yz2​)]

​(31)
定义应变强度或等效应变

‾

overline varepsilon

为

‾

=

2

3

e

i

j

e

i

j

(32)

overline varepsilon=sqrt{frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} tag{32}

=32​eij​eij​

​(32)

定义剪切服务器托管网等效应力

T

‾

overline T

T为

T

‾

=

1

2

s

i

j

s

i

j

(33)

overline T=sqrt{frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} tag{33}

T=21​sij​sij​

​(33)
定义剪切等效应变

‾

overlineGamma

为

‾

=

2

e

i

j

e

i

j

(34)

overlineGamma=sqrt{2e_{ij}e_{ij}} tag{34}

=2eij​eij​

​(34)
加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变

8

=

1

3

s

i

j

s

i

j

8

=

4

3

e

i

j

e

i

j

(35)

tau_8=sqrt{frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} gamma_8=sqrt{frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}tag{35}

8​=31​sij​sij​

​8​=34​eij​eij​

​(35)

至于为什么定义这些应力应变，我们在后面再介绍。

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