[蓝桥杯 2015 省 B] 生命之树
题目描述
在 X 森林里，上帝创建了生命之树。
他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。
上帝要在这棵树内选出一个节点集合
S
S
S（允许为空集），使得对于
S
S
S 中的任意两个点
a
,
b
a,b
a,b，都存在一个点列
a
,
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
k
,
b
{a,v_1,v_2, cdots ,v_k,b}
a,v1,v2,⋯,vk,b 使得这个点列中的每个点都是
S
S
S 里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。
在这个前提下，上帝要使得
S
S
S 中的点所对应的整数的和尽量大。
这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。
经过 atm 的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。
输入格式
第一行一个整数
n
n
n 表示这棵树有
n
n
n 个节点。
第二行
n
n
n 个整数，依次表示每个节点的评分。
接下来
n
−
1
n-1
n−1 行，每行
2
2
2 个整数
u
,
v
u,v
u,v，表示存在一条
u
u
u 到
v
v
v 的边。由于这是一棵树，所以是不存在环的。
输出格式
输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。
样例 #1
样例输入 #1
5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5
样例输出 #1
8
提示
对于
30
%
30%
30% 的数据，
n
≤
10
n le 10
n≤10。
对于
100
%
100%
100% 的数据，
0
0n≤105, 每个节点的评分的绝对值不超过
1
0
6
10^6
106。
时限 3 秒, 256M。
蓝桥杯 2015 省赛 B 组 J 题。
思路
首先，定义一些常量和全局变量。其中，N 是节点的最大数量，w[N] 是存储每个节点的评分，dp[N] 是存储每个节点的最大分数，g[N] 是一个向量数组，存储图的邻接表。
dfs 函数是深度优先搜索的实现。在这个函数中，首先将当前节点的评分赋值给 dp[x]，然后遍历当前节点的所有邻居节点，如果邻居节点不是父节点，则将邻居节点的最大分数加到 dp[x] 上。
状态转移方程为：
d
p
[
x
]
=
w
[
x
]
+
∑
i
∈
g
[
x
]
,
i
≠
f
a
max
(
d
f
s
(
i
,
x
)
,
0
)
dp[x] = w[x] + sum_{i in g[x], i neq fa} max(dfs(i, x), 0)
dp[x]=w[x]+i∈g[x],i=fa∑max(dfs(i,x),0)
其中，
d
p
[
x
]
dp[x]
dp[x] 表示以
x
x
x 为根的子树中，按照题目要求选取节点后，能得到的最大和谐值。
w
[
x
]
w[x]
w[x] 是节点
x
x
x 的权值，
g
[
x
]
g[x]
g[x] 是节点
x
x
x 的所有子节点，
f
a
fa
fa 是节点
x
x
x服务器托管网 的父节点。
以
x
x
x 为根的子树中，能得到的最大和谐值，等于节点
x
x
x 自身的权值，加上它所有子节点中，以子节点为根的子树能得到的最大和谐值之和。这里的最大和谐值是非负的，如果以某个子节点为根的子树的最大和谐值是负数，那么就不选取这个子树。
在 main 函数中，首先读取节点的数量 n，然后读取每个节点的评分，接着读取每条边的两个节点，将这两个节点分别添加到对方的邻居列表中。然后调用 dfs 函数计算每个节点的最大分数，最后遍历 dp 数组，找出最大的分数并输出。
AC代码
#include
#include
#include
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;
int w[N];
ll dp[N];
vectorint> g[N];
ll dfs(int x, int fa) {
dp[x] = w[x];
// cout
for (const auto i : g[x]) {
if (i == fa) {
continue;
}
dp[x] += max(dfs(i, x), 0LL);
}
return dp[x服务器托管网];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i n; i++) {
cin >> w[i];
}
for (int i = 1; i n; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
ll ans = 0;
for (int i = 1; i n; i++) {
ans = max(ans, dp[i]);
}
cout ans endl;
return 0;
}
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