文章目录
- 引言
- 四、常见的二维随机变量
-
- 4.1 二维均匀分布
- 4.2 二维正态分布
- 五、二维随机变量的条件分布
-
- 5.1 二维离散型随机变量的条件分布律
- 5.2 二维连续型随机变量的条件分布
- 六、随机变量的独立性
-
- 6.1 基本概念
- 6.2 随机变量独立的等价条件
- 写在最后
引言
有了上文关于二维随机变量的基本概念与性质后，我们可以往后继续学习更加深入的内容。
四、常见的二维随机变量
4.1 二维均匀分布
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维随机变量，
D
D
D 为
x
O
y
xOy
xOy 平面的有限区域，其面积为
A
A
A ，若
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 的联合密度函数为
f
(
x
,
y
)
=
{
1
A
,
(
x
,
y
)
∈
D
0
,
(
x
,
y
)
∉
D
,
f(x,y)=begin{cases} frac{1}{A} ,&(x,y)in D \ 0,&(x,y) notin D end{cases},
f(x,y)={A1,0,(x,y)∈D(x,y)∈/D, 称
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为区域
D
D
D 上的服从均匀分布。
可以回想一下一维的均匀分布，它是长度的倒数。
4.2 二维正态分布
这个我就不手敲了，太长啦，根本记不住。
其中，
rho
为两个随机变量的相关系数。
若
(
X
,
Y
)
∼
N
(
1
,
2
;
1
2
,
2
2
;
)
(X,Y)sim N(mu_1,mu_2;sigma_1^2,sigma_2^2;rho)
(X,Y)∼N(1,2;12,22;) ，则
X
∼
N
(
1
,
1
2
)
,
Y
∼
N
(
2
,
2
2
)
.
X sim N(mu_1,sigma_1^2),Y sim N(mu_2,sigma_2^2).
X∼N(1,12),Y∼N(2,22). 当
a
2
+
b
2
≠
0
a^2+b^2 ne 0
a2+b2=0 时，有
a
X
+
b
Y
aX+bY
aX+bY 服从一维正态分布。随机变量
X
X
X 和
Y
Y
Y 独立的充要条件是两个变量不相关，即
≠
0
rho ne 0
=0 。
五、二维随机变量的条件分布
5.1 二维离散型随机变量的条件分布律
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维离散型随机变量，其联合分布律为
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
=
p
i
j
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
;
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
.
P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij}(i=1,2,cdots,m;j=1,2,cdots,n).
P{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n). （1）对某个固定的
i
i
i ，若
P
{
X
=
x
i
}
>
0
P{X=x_i}>0
P{X=xi}>0 ，则称
P
{
Y
=
y
j
∣
X
=
x
i
}
=
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
P
{
X
=
x
i
}
=
p
i
j
p
i
⋅
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
P{Y=y_j | X=x_i}=frac{P{X=x_i,Y=y_j}}{P{X=x_i}}=frac{p_{ij}}{p_{icdot}}(j=1,2,cdots,n)
P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj}=pi⋅pij(j=1,2,⋯,n) 为在
X
=
x
i
X=x_i
X=xi 条件下随机变量
Y
Y
Y 的条件分布律。
（2）对某个固定的
j
j
j ，若
P
{
Y
=
y
j
}
>
0
P{Y=y_j}>0
P{Y=yj}>0 ，则称
P
{
X
=
x
i
∣
Y
=
y
j
}
=
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
P
{
Y
=
y
j
}
=
p
i
j
p
⋅
j
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
)
P{X=x_i | Y=y_j}=frac{P{X=x_i,Y=y_j}}{P{Y=y_j}}=frac{p_{ij}}{p_{cdot j}}(i=1,2,cdots,m)
P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=p⋅jpij(i=1,2,⋯,m) 为在
Y
=
y
i
Y=y_i
Y=yi 条件下随机变量
X
X
X 的条件分布律。
5.2 二维连续型随机变量的条件分布
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维连续型随机变量，联合密度函数为
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) ，变量
X
,
Y
X,Y
X,Y 的边缘密度函数分别为
f
X
(
x
)
,
f
Y
(
y
)
.
f_X(x),f_Y(y).
fX(x),fY(y).
对固定的
X
=
x
X=x
X=x ，若
f
X
(
x
)
>
0
f_X(x)>0
fX(x)>0 ，称
P
{
Y
≤
y
∣
X
=
x
}
=
∫
−
∞
y
f
(
x
,
y
)
f
X
(
x
)
d
y
P{Yleq y | X=x}=int_{-infty}^yfrac{f(x,y)}{f_X(x)}dy
P{Y≤y∣X=x}=∫−∞yfX(x)f(x,y)dy 为在
X
=
x
X=x
X=x 条件下
Y
Y
Y 的条件分布函数，
f
(
x
,
y
)
f
X
(
x
)
frac{f(x,y)}{f_X(x)}
fX(x)f(x,y) 为条件密度函数。对于固定的
Y
=
y
Y=y
Y=y ，可同理得到类似结论。
我看老汤也没给证明，自己也没想明白为什么，就上网搜了下，发现是做了近似处理。
六、随机变量的独立性
6.1 基本概念
设
服务器托管网 A
,
B
A,B
A,B 为两个随机事件，若
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B) ，称事件
A
,
B
A,B
A,B 独立；设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维随机变量，令
{
X
≤
x
}
=
A
,
{
Y
≤
y
}
=
B
{Xleq x}=A,{Yleq y}=B
{X≤x}=A,{Y≤y}=B ，则
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
服务器托管网
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B) 等价于
F
(
x
,
y
)
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
}
P
{
Y
≤
y
}
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
.
F(x,y)=P{Xleq x,Yleq y}=P{Xleq x}P{Yleq y}=F_X(x)F_Y(y).
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}=FX(x)FY(y). 于是有如下定义：
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维随机变量，
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y) 为其联合分布函数，
F
X
(
x
)
,
F
Y
(
y
)
F_X(x),F_Y(y)
FX(x),FY(y) 分别为
X
,
Y
X,Y
X,Y 的边缘分布函数，若
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
=
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_X(x)=F_Y(y)
F(x,y)=FX(x)=FY(y) ，称变量
X
,
Y
X,Y
X,Y 相互独立。同理可扩展到
n
n
n 维。
6.2 随机变量独立的等价条件
设
(
X
1
,
X
2
.
⋯
,
X
m
)
(X_1,X_2.cdots,X_m)
(X1,X2.⋯,Xm) 与
(
Y
1
,
Y
2
,
⋯
,
Y
n
)
(Y_1,Y_2,cdots,Y_n)
(Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立，则由
(
X
1
,
X
2
.
⋯
,
X
m
)
(X_1,X_2.cdots,X_m)
(X1,X2.⋯,Xm) 构成的函数
(
X
1
,
X
2
.
⋯
,
X
m
)
varphi(X_1,X_2.cdots,X_m)
(X1,X2.⋯,Xm) 与
(
Y
1
,
Y
2
,
⋯
,
Y
n
)
(Y_1,Y_2,cdots,Y_n)
(Y1,Y2,⋯,Yn) 构成的函数
(
Y
1
,
Y
2
,
⋯
,
Y
n
)
varphi(Y_1,Y_2,cdots,Y_n)
(Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立。
写在最后
其实如果一维的能掌握好一些，二维的可以类比来学，下一篇来说说二维随机变量的最后一个内容 —— 二维随机变量函数的分布。
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