从零学算法322

322.给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

• 动态规划：假设 dp[i] 为 amount 为 i 时的最少硬币数。那么我们首先可以知道的是 dp[0] = 0，并且 dp[coin] = 1，比如硬币面额 coin 为 2，那么 dp[2] 一定为 1，一个 2 元硬币就能使得总和为 2。那么 dp[i] 呢，最好的结果肯定是 dp[i-coin] + 1，比如你有 [1,2,5] 三种硬币, 当你要凑到 7 元时你会想，如果我们得到了凑成 6 元的最小硬币数，再加一个 1 元硬币就得到了凑成 7 元的一种可能，即 dp[7] = dp[7-1] + 1，或者我们之前已经得到了凑成 5 元的最小硬币数，再加一个 2 元硬币也能凑成 7 元，即 dp[7] = dp[7-2] + 1，我们取 min 即可

•   public int coinChange(int[] coins, int amount) {
      服务器托管网  int[] dp = new int[amount+1];
        Arrays.fill(dp, -1);
        dp[0] = 0;
        for(int c:coins){
        	// 硬币面值首先肯定得小于等于我所需的总数
            if(camount)dp[c]=1;
        }
        for(int i=1;iamount;i++){
        	// 得到过了就跳过
            if(dp[i]服务器托管网!=-1)continue;
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for(int c:coins){
            	// 我们需要得到总共 i 元，硬币面额肯定首先得小于 i，等于的我们已经初始化过了
            	// 并且我们在计算比如 dp[7] = dp[7-2] + 1 时，我们肯定首先得保证 dp[7-2] 存在
            	// 不然怎么往后推
                if(c  i && dp[i-c]!=-1)min=Math.min(min,dp[i-c]);
            }
            if(min != Integer.MAX_VALUE)dp[i]=min+1;
        }
        return dp[amount];
    }
  

• 这里附上别人更简洁的写法，无法凑成的情况就用 int 最大值表示

•   public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins.length == 0){
            return -1;
        }
        //dp[i]表示金额i最少需要的硬币数
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0] = 0;
        for(int i=1;iamount;i++){
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (final int coin : coins) {
            	// 这里 dp[i - coin] 
            	// 而且因为无法凑成的 dp[x] 为 int 最大值，所以 dp[x] 如果凑不成就不可能 
            	// 所以它同时也排除了无法凑成的情况
            	// 当然你也可以改写成  
            	// if (i - coin >= 0) min = Math.min(min,dp[i - coin]);
            	// 然后 min 不为 int 最大值才 + 1，否则上面就加 1 就超出 int 最大值了
            	// dp[i] = min!=Integer.MAX_VALUE?min+1:Integer.MAX_VALUE;
                if (i - coin >= 0 && dp[i - coin]  min) {
                    min = dp[i - coin] + 1;
                }
            }
            dp[i] = min;
        }
        return dp[amount]== Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
    }
  

• dfs(超时)：我们很容易想到的就是像 n 叉树一样尝试每种组合，比如 [1,2] 我们从这两个硬币开始分叉
• (1|2) -> (11,12 | 21,22) -> (111,112 | 121,122 | 211,212 | 221,222)......

•   int MAX = Integer.MAX_VALUE;
    int[] coins;
    int ans=MAX;
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        this.coins = coins;
        dfs(amount,0);
        return ans==MAX?-1:ans;
    }
    // amount：所需总数
    // count：硬币数量
    public void dfs(int amount,int count){
    	// 减到总数小于 0 肯定不行
        if(amount  0)return;
        // 减到总数为 0 说明凑出一种可能了，记录下来
        if(amount==0){
            ans=Math.min(ans,count);   
        }
        for(int coin:coins){
            dfs(amount-coin, count+1);
        }
    }
  

• 上面代码会超时，是因为其实组成比如12 和 21 时得到的总数是相同的都是总共 3 元，所以会包含大量重复的计算，那么我们很容易想到的就是用记忆化搜索改进，其实这和 dp 的原理很像

•   int MAX = Integer.MAX_VALUE;
    int[] coins;
    int[] memo;
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        memo = new int[amount+1];
        this.coins = coins;
        return dfs(amount);
    }
    public int dfs(int amount){
        if(amount == 0)return 0;
        if(amount  0)return -1;
        // 有了这个我们才减少了很多重复计算
        if(memo[amount] != 0)return memo[amount];
        int min = MAX;
        for(int coin:coins){
            int res = dfs(amount-coin);
            // res == -1 可以理解为 dp[amount-coin] 不存在，所以你会发现记忆化搜索都能改写成 dp
            // 所以 dp[amount-coin] 存在才能推出在此基础上加一个 coin 凑成 amount，推出 dp[amount]
            if(res!=-1)min = Math.min(min,res);
        }
        // 每个 coin 对应的 dp[amount-coin] 都不存在时 min 就保持不变还是 int 最大值
        // 这就表示我们无法用这些硬币得到总数 amount，所以为 -1
        memo[amount]=min==MAX?-1:min+1;
        return memo[amount];
    }
  

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