信号与系统复习笔记——线性时不变系统
线性时不变系统
推导CT-LTI卷积积分
假设输入函数为
x
(
t
)
x(t)
x(t) ,输出为
y
(
t
)
y(t)
y(t) ,考虑对应变换
T
{
x
(
t
)
}
=
y
(
t
)
T{x(t)}=y(t)
T{x(t)}=y(t) ,通过冲激函数可将
x
(
t
)
x(t)
x(t) 表示为:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
=
x
(
t
)
∗
δ
(
t
)
x(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau)delta(t – tau) dtau = x(t) ast delta(t)
x(t)=∫−∞+∞x(τ)δ(t−τ)dτ=x(t)∗δ(t)
对两边同时做变换
T
T
T 得到:
T
{
x
(
t
)
}
=
T
{
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
}
T{x(t)} = T{int_{-infty}^{+infty} x(tau)delta(t – tau) dtau }
T{x(t)}=T{∫−∞+∞x(τ)δ(t−τ)dτ}
利用LTI的 线性性质 可以得到:
y
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
T
{
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
}
d
τ
y(t)= int_{-infty}^{+infty} T{x(tau)delta(t – tau) } dtau
y(t)=∫−∞+∞T{x(τ)δ(t−τ)}dτ
y
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
T
{
δ
(
t
−
τ
)
}
d
τ
y(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau)T{delta(t – tau)} dtau
y(t)=∫−∞+∞x(τ)T{δ(t−τ)}dτ
利用LTI的 时不变性 可以得到:
y
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
y(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau) h(t – tau) dtau = x(t) ast h(t)
y(t)=∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)∗h(t)
这里记
h
(
t
)
h(t)
h(t) 为系统的 零状态 状态下的单位冲激函数的响应。
推导DT-LTI卷积积分
同理CT-LTI卷积积分可得:
y
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
[
k
]
h
[
n
−
k
]
=
x
[
n
]
∗
h
[
n
]
y[n] = sum_{k = -infty} ^{+infty} x[k] h[n-k] = x[n] ast h[n]
y[n]=k=−∞∑+∞x[k]h[n−k]=x[n]∗h[n]
LTI系统的性质
性质 | 公式 |
---|---|
交换律 |
x ( t ) ∗ h ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) x(t) ast h(t) = h(t) ast x(t) x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t) |
分配律 |
x ( t ) ∗ [ h 1 ( t ) + h 2 ( t ) ] = x ( t ) ∗ h 1 ( t ) + x ( t ) ∗ h 2 ( t ) x(t) ast [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) ast h_1(t) + x(t) ast h_2(t) x(t)∗[h1(t)+h2(t)]=x(t)∗h1(t)+x(t)∗h2(t) |
结合律 |
x ( t ) ∗ [ h 1 ( t ) ∗ h 2 ( t ) ] = [ x ( t ) ∗ h 1 ( t ) ] ∗ h 2 ( t ) x(t) ast [h_1(t) ast h_2(t)] = [x(t) ast h_1(t)] ast h_2(t) x(t)∗[h1(t)∗h2(t)]=[x(t)∗h1(t)]∗h2(t) |
记忆性 | 若对于所有的
t ≠ 0 t neq 0 t=0 有 h ( t ) = 0 h(t) = 0 h(t)=0 那么系统是无记忆的 |
可逆性 | 若存在
h 1 ( t ) h_1(t) h1(t) 使得 h ( t ) ∗ h 1 ( t ) = δ ( t ) h(t) ast h_1(t) = delta(t) h(t)∗h1(t)=δ(t) 那么系统是可逆的 |
因果性 | 若对于所有的
t t0 有h ( t ) = 0 h(t) = 0 h(t)=0 那么系统是因果的 |
稳定性 | 若单位冲激响应是绝对可积(和)的
∫ − ∞ + ∞ ∣ h ( t ) ∣ d t ∫−∞+∞∣h(t)∣dt∞ 那么系统是稳定的 |
阶跃响应 |
s ( t ) = ∫ − ∞ t h ( t ) d t s(t) = int_{-infty}^{t} h(t) dt s(t)=∫−∞th(t)dt |
求解CT线性常系数微分方程
一类极为重要的LTI系统可以用关于输入和输出的线性常系数微分方程表示,即具有如下N阶线性常系数微分方程的形式:
∑
k
=
0
N
a
k
d
k
y
(
t
)
d
t
k
=
∑
k
=
0
M
b
k
d
k
x
(
t
)
d
t
k
sum_{k=0}^{N} a_k frac{d^k y(t)}{dt^k} = sum_{k=0}^{M} b_k frac{d^k x(t)}{dt^k}
k=0∑Nakdtkdky(t)=k=0∑Mbkdtkdkx(t)
N阶指的是
y
(
t
)
y(t)
y(t) 的最高阶导数。
系统在
t
=
0
t = 0
t=0 时刻输入为
x
(
t
)
x(t)
x(t) 的 全响应 的形式为:
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)
y(t)=yzi(t)+yzs(t)
首先求解系统的 零输入响应
y
z
i
(
t
)
y_{zi}(t)
yzi(t) ,即方程:
∑
k
=
0
N
a
k
d
k
y
(
t
)
d
t
k
=
0
sum_{k=0}^{N} a_k frac{d^k y(t)}{dt^k} = 0
k=0∑Nakdtkdky(t)=0
这是线性齐次常系数微分方程,对于一个二阶线性齐次常系数微分方程
y
′
′
(
t
)
+
p
y
′
(
t
)
+
q
y
(
t
)
=
0
y”(t) + py'(t) + qy(t) = 0
y′′(t)+py′(t)+qy(t)=0 来说,其特征方程为:
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2 + pr+q = 0
r2+pr+q=0
特征方程有两个解(可能为复数)为
r
1
r_1
r1 和
r
2
r_2
r2,则有:
y
z
i
=
(
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
)
u
(
t
)
y_{zi} = (C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}) u(t)
yzi=(C1er1x+C2er2x)u(t)
其中
C
1
C_1
C1 和
C
2
C_2
C2 由系统在
t
=
−
0
t = -0
t=−0 时刻的初始条件构成。
对于一个一阶线性齐次常系数微分方程
y
′
(
t
)
+
p
y
(
t
)
=
0
y'(t) + py(t) = 0
y′(t)+py(t)=0 来说,其特征方程为:
r
+
p
=
0
r + p = 0
r+p=0
则
r
1
=
−
p
r_1 = -p
r1=−p,则有:
y
z
i
=
C
1
e
r
1
x
=
(
C
1
e
−
p
x
)
u
(
t
)
y_{zi} = C_1 e^{r_1x} = (C_1 e^{-px}) u(t)
yzi=C1er1x=(C1e−px)u(t)
其中
C
1
C_1
C1 由系统在
t
=
−
0
t = -0
t=−0 时刻的初始条件构成。
接下来求解零状态响应,可以使用卷积积分求解,首先我们求解系统在零状态响应的单位冲激响应
h
(
t
)
h(t)
h(t) ,可以使用Delta函数匹配法。
Delta函数匹配法的精髓在于,系统只在
t
=
0
t=0
t=0 的时候有一个冲激输入,在
t
>
0
t>0
t>0 的时候没有输入,此时可以看做是零输入响应,求得
h
(
+
0
)
,
h
′
(
+
0
)
,
h
′
′
(
+
0
)
,
…
h(+0),h'(+0),h”(+0),ldots
h(+0),h′(+0),h′′(+0),… 的初始条件是简单的,因此我们可以先求初始条件,最后带入零输入响应,求得系统的冲激响应。
求得冲激响应
h
(
t
)
h(t)
h(t) 之后,可以通过
y
z
s
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
y_{zs} = x(t) ast h(t)
yzs=x(t)∗h(t) 求得零状态响应。
例题:求解系统
y
′
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
+
y
(
t
)
=
x
′
(
t
)
+
x
(
t
)
y”(t) + y'(t) + y(t) = x'(t) + x(t)
y′′(t)+y′(t)+y(t)=x′(t)+x(t) 在初始条件下,求其在
t
≥
0
tge0
t≥0 零输入响应和零状态下的单位冲激响应,以及在输入
x
(
t
)
,
t
≥
0
x(t),tge0
x(t),t≥0 下的全响应。
零输入的系统方程为
y
′
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
+
y
(
t
)
=
0
y”(t) + y'(t) + y(t) = 0
y′′(t)+y′(t)+y(t)=0 ,特征方程为
r
2
+
r
+
1
=
0
r^2 + r + 1 = 0
r2+r+1=0 ,两个特征解为
r
=
−
1
2
±
3
2
j
r = -frac{1}{2} pm frac{sqrt{3}}{2}j
r=−21±23
j 。
则系统的零输入响应方程为:
y
z
i
(
t
)
=
(
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
)
u
(
t
)
y_{zi}(t) = (C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x})u(t)
yzi(t)=(C1er1x+C2er2x)u(t)
使用Delta函数匹配法求解其零状态下的单位冲激在
−
0
≤
t
≤
+
0
-0 le t le +0
−0≤t≤+0 下的冲激响应表达式,我们仅考虑在该处的间断函数,因为不间断函例如
r
(
t
)
=
t
u
(
t
)
r(t) = tu(t)
r(t)=tu(t) 在该点函数值为零,因为
h
′
′
(
t
)
+
h
′
(
t
)
+
h
(
t
)
=
δ
′
(
t
)
+
δ
(
t
)
h”(t) + h'(t) + h(t) = delta'(t) + delta(t)
h′′(t)+h′(t)+h(t)=δ′(t)+δ(t) 因此
h
′
′
(
t
)
h”(t)
h′′(t) 有最高项
δ
′
(
t
)
delta'(t)
δ′(t) ,我们假设:
h
′
′
(
t
)
=
a
δ
′
(
t
)
+
b
δ
(
t
)
+
c
u
(
t
)
h”(t) = adelta'(t) + bdelta(t) + cu(t)
h′′(t)=aδ′(t)+bδ(t)+cu(t)
h
′
(
t
)
=
a
δ
(
t
)
+
b
u
(
t
)
h'(t) = adelta(t) + bu(t)
h′(t)=aδ(t)+bu(t)
h
(
t
)
=
a
u
(
t
)
h(t) = au(t)
h(t)=au(t)
带入得到:
a
δ
′
(
t
)
+
(
a
+
b
)
δ
(
t
)
+
(
a
+
b
+
c
)
u
(
t
)
=
δ
′
(
t
)
+
δ
(
t
)
adelta'(t) + (a + b)delta(t) + (a + b + c)u(t) = delta'(t) + delta(t)
aδ′(t)+(a+b)δ(t)+(a+b+c)u(t)=δ′(t)+δ(t)
解得
a
=
1
,
b
=
0
,
c
=
−
1
a=1,b=0,c=-1
a=1,b=0,c=−1 。考虑下面的初始条件表达式:
h
′
′
(
+
0
)
−
h
′
′
(
−
0
)
=
−
1
,
h
′
(
+
0
)
−
h
′
(
−
0
)
=
0
,
h
(
+
0
)
−
h
(
−
0
)
=
1
h”(+0) – h”(-0) = -1, h'(+0) – h'(-0) = 0, h(+0) – h(-0) = 1
h′′(+0)−h′′(−0)=−1,h′(+0)−h′(−0)=0,h(+0)−h(−0)=1
并且由于是零状态响应,因此
h
′
′
(
−
0
)
=
0
,
h
′
(
−
0
)
=
0
,
h
(
−
0
)
=
0
h”(-0)=0,h'(-0)=0,h(-0)=0
h′′(−0)=0,h′(−0)=0,h(−0)=0 。得到初始条件:
h
′
′
(
+
0
)
=
−
1
,
h
′
(
+
0
)
=
0
,
h
(
+
0
)
=
1
h”(+0) = -1,h'(+0)=0,h(+0)=1
h′′(+0)=−1,h′(+0)=0,h(+0)=1
解得系统在
t
>
0
t gt 0
t>0 时候的响应为:
h
(
t
)
=
u
(
t
)
[
(
−
1
2
−
3
6
j
)
e
r
1
x
+
(
3
2
+
3
6
j
)
e
r
2
x
]
h(t) = u(t)[(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_1x} + (frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_2x}]
h(t)=u(t)[(−21−63
j)er1x+(23+63
j)er2x]
其中
r
1
=
−
1
2
+
3
2
j
r_1 = -frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}j
r1=−21+23
j 。
写成闭式的形式为:
h
(
t
)
=
u
(
t
)
[
(
−
1
2
−
3
6
j
)
e
r
1
x
+
(
3
2
+
3
6
j
)
e
r
2
x
]
h(t) = u(t)[(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_1x} + (frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_2x}]
h(t)=u(t)[(−21−63
j)er1x+(23+63
j)er2x]
则
y
z
s
(
t
)
=
h
(
t
)
∗
x
(
t
)
y_{zs}(t) = h(t) ast x(t)
yzs(t)=h(t)∗x(t) ,最终
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)
y(t)=yzi(t)+yzs(t) 。
奇异函数
恒等函数:
∫
−
∞
+
∞
x
(
t
)
δ
(
t
)
d
t
=
x
(
0
)
int_{-infty}^{+infty} x(t) delta(t) dt = x(0)
∫−∞+∞x(t)δ(t)dt=x(0)
x
(
t
)
δ
(
t
)
=
x
(
0
)
δ
(
t
)
x(t)delta(t) = x(0)delta(t)
x(t)δ(t)=x(0)δ(t)
微分器:
x
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
δ
(
t
)
,
x
′
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
δ
′
(
t
)
,
x
′
′
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
δ
′
′
(
t
)
x(t) = x(t) ast delta(t),x'(t) = x(t) ast delta'(t),x”(t) = x(t) ast delta”(t)
x(t)=x(t)∗δ(t),x′(t)=x(t)∗δ′(t),x′′(t)=x(t)∗δ′′(t)
因此
δ
′
′
(
t
)
=
δ
′
(
t
)
∗
δ
′
(
t
)
,
δ
(
n
)
(
t
)
=
δ
′
(
t
)
∗
δ
′
(
t
)
∗
…
n
delta”(t) = delta'(t) ast delta'(t),delta^{(n)}(t) = delta'(t) ast delta'(t) ast ldots_n
δ′′(t)=δ′(t)∗δ′(t),δ(n)(t)=δ′(t)∗δ′(t)∗…n
∫
−
∞
+
∞
x
(
t
)
δ
′
(
t
)
d
t
=
−
x
′
(
0
)
int_{-infty}^{+infty} x(t) delta'(t) dt = -x'(0)
∫−∞+∞x(t)δ′(t)dt=−x′(0)
积分器:
x
(
t
)
∗
u
(
t
)
=
∫
−
∞
t
x
(
t
)
d
t
x(t) ast u(t) = int_{-infty}^{t} x(t) dt
x(t)∗u(t)=∫−∞tx(t)dt
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目录 一、前言 二、大家对云原生的理解 三、云原生的产生 四、DevOps+持续交付+微服务+容器化的理解 五、云原生技术栈 六、怎么学习云原生呢? Ⅰ docker Ⅱ k8s Ⅲ KubeSphere Ⅳ Spring Cloud Ⅴ DevOps 七、部…