信号与系统复习笔记——线性时不变系统

线性时不变系统

推导CT-LTI卷积积分

假设输入函数为

(

)

x(t)

$x (t)$ ，输出为

(

)

y(t)

$y (t)$ ，考虑对应变换

{

(

)

}

(

)

T{x(t)}=y(t)

$T {x (t)} = y (t)$ ，通过冲激函数可将

(

)

x(t)

$x (t)$ 表示为：

(

)

∫

−

∞

(

)

(

−

)

(

)

∗

(

)

x(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau)delta(t – tau) dtau = x(t) ast delta(t)

$x (t) = \int_{- \infty + \infty} x (τ) δ (t - τ) d τ = x (t) * δ (t)$

对两边同时做变换

$T$ 得到：

{

(

)

}

{

∫

−

∞

(

)

(

−

)

}

T{x(t)} = T{int_{-infty}^{+infty} x(tau)delta(t – tau) dtau }

$T {x (t)} = T {\int_{- \infty + \infty} x (τ) δ (t - τ) d τ}$

利用LTI的 线性性质 可以得到：

(

)

∫

−

∞

{

(

)

(

−

)

}

y(t)= int_{-infty}^{+infty} T{x(tau)delta(t – tau) } dtau

$y (t) = \int_{- \infty + \infty} T {x (τ) δ (t - τ)} d τ$

(

)

∫

−

∞

(

)

{

(

−

)

}

y(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau)T{delta(t – tau)} dtau

$y (t) = \int_{- \infty + \infty} x (τ) T {δ (t - τ)} d τ$

利用LTI的 时不变性 可以得到：

(

)

∫

−

∞

(

)

(

−

)

(

)

∗

(

)

y(t) = int_{-infty}^{+infty} x(tau) h(t – tau) dtau = x(t) ast h(t)

$y (t) = \int_{- \infty + \infty} x (τ) h (t - τ) d τ = x (t) * h (t)$

这里记

(

)

h(t)

$h (t)$ 为系统的 零状态 状态下的单位冲激函数的响应。

推导DT-LTI卷积积分

同理CT-LTI卷积积分可得：

[

]

∑

−

∞

[

]

[

−

]

[

]

∗

[

]

y[n] = sum_{k = -infty} ^{+infty} x[k] h[n-k] = x[n] ast h[n]

$y [n] = k = - \infty \sum + \infty x [k] h [n - k] = x [n] * h [n]$

LTI系统的性质

性质	公式
交换律
分配律	$[h_1(t) + h_2(t)] = x(t) ast h_1(t) + x(t) ast h_2(t) x(t)∗[h1(t)+h2(t)]=x(t)∗h1(t)+x(t)∗h2(t)$
结合律	$[h_1(t) ast h_2(t)] = [x(t) ast h_1(t)] ast h_2(t) x(t)∗[h1(t)∗h2(t)]=[x(t)∗h1(t)]∗h2(t)$
记忆性	若对于所有的
可逆性	若存在 $h_1(t) h1(t) 使得 h ( t ) ∗ h 1 ( t ) = δ ( t ) h(t) ast h_1(t) = delta(t) h(t)∗h1(t)=δ(t) 那么系统是可逆的$
因果性	若对于所有的
稳定性	若单位冲激响应是绝对可积（和）的
阶跃响应	$int_{-infty}^{t} h(t) dt s(t)=∫−∞th(t)dt$

求解CT线性常系数微分方程

一类极为重要的LTI系统可以用关于输入和输出的线性常系数微分方程表示，即具有如下N阶线性常系数微分方程的形式：

∑

(

)

∑

(

)

sum_{k=0}^{N} a_k frac{d^k y(t)}{dt^k} = sum_{k=0}^{M} b_k frac{d^k x(t)}{dt^k}

$k = 0 \sum N a_{k} \frac{d ^{k} y ( t )}{d t ^{k}} = k = 0 \sum M b_{k} \frac{d ^{k} x ( t )}{d t ^{k}}$

N阶指的是

(

)

y(t)

$y (t)$ 的最高阶导数。

系统在

t = 0

$t = 0$ 时刻输入为

(

)

x(t)

$x (t)$ 的 全响应 的形式为：

(

)

(

)

(

)

y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)

$y (t) = y_{z i} (t) + y_{zs} (t)$

首先求解系统的 零输入响应

(

)

y_{zi}(t)

$y_{z i} (t)$ ，即方程：

∑

(

)

sum_{k=0}^{N} a_k frac{d^k y(t)}{dt^k} = 0

$k = 0 \sum N a_{k} \frac{d ^{k} y ( t )}{d t ^{k}} = 0$

这是线性齐次常系数微分方程，对于一个二阶线性齐次常系数微分方程

′

(

)

′

(

)

(

)

y”(t) + py'(t) + qy(t) = 0

$y^{''} (t) + p y^{'} (t) + q y (t) = 0$ 来说，其特征方程为：

r^2 + pr+q = 0

$r^{2} + p r + q = 0$

特征方程有两个解（可能为复数）为

r_1

$r_{1}$ 和

r_2

$r_{2}$ ，则有：

(

)

(

)

y_{zi} = (C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}) u(t)

$y_{z i} = (C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}) u (t)$

其中

C_1

$C_{1}$ 和

C_2

$C_{2}$ 由系统在

−

t = -0

$t = - 0$ 时刻的初始条件构成。

对于一个一阶线性齐次常系数微分方程

′

(

)

(

)

y'(t) + py(t) = 0

$y^{'} (t) + p y (t) = 0$ 来说，其特征方程为：

r + p = 0

$r + p = 0$

则

−

r_1 = -p

$r_{1} = - p$ ，则有：

(

−

)

(

)

y_{zi} = C_1 e^{r_1x} = (C_1 e^{-px}) u(t)

$y_{z i} = C_{1} e^{r_{1} x} = (C_{1} e^{- p x}) u (t)$

其中

C_1

$C_{1}$ 由系统在

−

t = -0

$t = - 0$ 时刻的初始条件构成。

接下来求解零状态响应，可以使用卷积积分求解，首先我们求解系统在零状态响应的单位冲激响应

(

)

h(t)

$h (t)$ ，可以使用Delta函数匹配法。

Delta函数匹配法的精髓在于，系统只在

t=0

$t = 0$ 的时候有一个冲激输入，在

t>0

$t > 0$ 的时候没有输入，此时可以看做是零输入响应，求得

(

)

′

(

)

′

(

)

…

h(+0),h'(+0),h”(+0),ldots

$h (+ 0), h^{'} (+ 0), h^{''} (+ 0), \dots$ 的初始条件是简单的，因此我们可以先求初始条件，最后带入零输入响应，求得系统的冲激响应。

求得冲激响应

(

)

h(t)

$h (t)$ 之后，可以通过

(

)

∗

(

)

y_{zs} = x(t) ast h(t)

$y_{zs} = x (t) * h (t)$ 求得零状态响应。

例题：求解系统

′

(

)

′

(

)

(

)

′

(

)

(

)

y”(t) + y'(t) + y(t) = x'(t) + x(t)

$y^{''} (t) + y^{'} (t) + y (t) = x^{'} (t) + x (t)$ 在初始条件下，求其在

≥

tge0

$t \geq 0$ 零输入响应和零状态下的单位冲激响应，以及在输入

(

)

≥

x(t),tge0

$x (t), t \geq 0$ 下的全响应。

零输入的系统方程为

′

(

)

′

(

)

(

)

y”(t) + y'(t) + y(t) = 0

$y^{''} (t) + y^{'} (t) + y (t) = 0$ ，特征方程为

r^2 + r + 1 = 0

$r^{2} + r + 1 = 0$ ，两个特征解为

−

r = -frac{1}{2} pm frac{sqrt{3}}{2}j

$r = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$

j 。

则系统的零输入响应方程为：

(

)

(

)

(

)

y_{zi}(t) = (C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x})u(t)

$y_{z i} (t) = (C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}) u (t)$

使用Delta函数匹配法求解其零状态下的单位冲激在

−

≤

-0 le t le +0

$- 0 \leq t \leq + 0$ 下的冲激响应表达式，我们仅考虑在该处的间断函数，因为不间断函例如

(

)

(

)

r(t) = tu(t)

$r (t) = t u (t)$ 在该点函数值为零，因为

′

(

)

′

(

)

(

)

′

(

)

(

)

h”(t) + h'(t) + h(t) = delta'(t) + delta(t)

$h^{''} (t) + h^{'} (t) + h (t) = δ^{'} (t) + δ (t)$ 因此

′

(

)

h”(t)

$h^{''} (t)$ 有最高项

′

(

)

delta'(t)

$δ^{'} (t)$ ，我们假设：

′

(

)

′

(

)

(

)

(

)

h”(t) = adelta'(t) + bdelta(t) + cu(t)

$h^{''} (t) = a δ^{'} (t) + b δ (t) + c u (t)$

′

(

)

(

)

(

)

h'(t) = adelta(t) + bu(t)

$h^{'} (t) = a δ (t) + b u (t)$

(

)

(

)

h(t) = au(t)

$h (t) = a u (t)$

带入得到：

′

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

′

(

)

(

)

adelta'(t) + (a + b)delta(t) + (a + b + c)u(t) = delta'(t) + delta(t)

$a δ^{'} (t) + (a + b) δ (t) + (a + b + c) u (t) = δ^{'} (t) + δ (t)$

解得

−

a=1,b=0,c=-1

$a = 1, b = 0, c = - 1$ 。考虑下面的初始条件表达式：

′

(

)

−

′

(

−

)

−

′

(

)

−

′

(

−

)

(

)

−

(

−

)

h”(+0) – h”(-0) = -1, h'(+0) – h'(-0) = 0, h(+0) – h(-0) = 1

$h^{''} (+ 0) - h^{''} (- 0) = - 1, h^{'} (+ 0) - h^{'} (- 0) = 0, h (+ 0) - h (- 0) = 1$

并且由于是零状态响应，因此

′

(

−

)

′

(

−

)

(

−

)

h”(-0)=0,h'(-0)=0,h(-0)=0

$h^{''} (- 0) = 0, h^{'} (- 0) = 0, h (- 0) = 0$ 。得到初始条件：

′

(

)

−

′

(

)

(

)

h”(+0) = -1,h'(+0)=0,h(+0)=1

$h^{''} (+ 0) = - 1, h^{'} (+ 0) = 0, h (+ 0) = 1$

解得系统在

t gt 0

$t > 0$ 时候的响应为：

(

)

(

)

[

(

−

)

(

)

]

h(t) = u(t)[(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_1x} + (frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_2x}]

$h (t) = u (t) [(- \frac{1}{2} - \frac{3}{6}$

j)er1x+(23+63

j)er2x]

其中

−

r_1 = -frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}j

$r_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

j 。

写成闭式的形式为：

(

)

(

)

[

(

−

)

(

)

]

h(t) = u(t)[(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_1x} + (frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{6}j)e^{r_2x}]

$h (t) = u (t) [(- \frac{1}{2} - \frac{3}{6}$

j)er1x+(23+63

j)er2x]

则

(

)

(

)

∗

(

)

y_{zs}(t) = h(t) ast x(t)

$y_{zs} (t) = h (t) * x (t)$ ，最终

(

)

(

)

(

)

y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)

$y (t) = y_{z i} (t) + y_{zs} (t)$ 。

奇异函数

恒等函数：

∫

−

∞

(

)

(

)

(

)

int_{-infty}^{+infty} x(t) delta(t) dt = x(0)

$\int_{- \infty + \infty} x (t) δ (t) d t = x (0)$

(

)

(

)

(

)

(

)

x(t)delta(t) = x(0)delta(t)

$x (t) δ (t) = x (0) δ (t)$

微分器：

(

)

(

)

∗

(

)

′

(

)

(

)

∗

′

(

)

′

(

)

(

)

∗

′

(

)

x(t) = x(t) ast delta(t),x'(t) = x(t) ast delta'(t),x”(t) = x(t) ast delta”(t)

$x (t) = x (t) * δ (t), x^{'} (t) = x (t) * δ^{'} (t), x^{''} (t) = x (t) * δ^{''} (t)$

因此

′

(

)

′

(

)

∗

′

(

)

(

)

(

)

′

(

)

∗

′

(

)

∗

…

delta”(t) = delta'(t) ast delta'(t),delta^{(n)}(t) = delta'(t) ast delta'(t) ast ldots_n

$δ^{''} (t) = δ^{'} (t) * δ^{'} (t), δ^{(n)} (t) = δ^{'} (t) * δ^{'} (t) * \dots_{n}$

∫

−

∞

(

)

′

(

)

−

′

(

)

int_{-infty}^{+infty} x(t) delta'(t) dt = -x'(0)

$\int_{- \infty + \infty} x (t) δ^{'} (t) d t = - x^{'} (0)$

积分器：

(

)

∗

(

)

∫

−

∞

(

)

x(t) ast u(t) = int_{-infty}^{t} x(t) dt

$x (t) * u (t) = \int_{- \infty t} x (t) d t$

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