特征选择

特征选择问题

特征选择顾名思义就是对特征进行选择性截取，剔除掉冗余特征。这样能够减少决策树的复杂度。

比如在上面两图中，左图通过年龄来对样本进行分类，而右图通过工作对特征进行分类，二者究竟孰好孰坏，这是需要进行比较的。一个非常直接的想法就是仅用选择的特征去训练模型，然后得出用各个特征的准确率。但是显然这样做过于繁琐与复杂，通常特征选择的准则是信息增益或信息增益比。

信息增益与信息增益比

信息增益描述了在得知已知信息(特征X)的情况下能够使得类别Y的信息的不确定性减少的程度。比如说，在不知道任何样本的特征信息情况下，我们知道Y的服务器托管网不确定性程度为0.7，现在你知道了样本的某个特征(x_i)，那么假设Y的不确定性程度减少为0.5，那么所得的信息增益即为0.2，这表示特征x对减少Y的不确定性程度的贡献。
在上面的例子中，我们提到了重要的两点，第一个是Y的不确定性程度，第二个是Y在X为某个特征时的不确定性程度。那么该怎么计算它们？

熵

熵是反应随机变量不确定性的度量。假设随机变量(X)的概率分布为

[P(X=x_i)=p_i, i = 1,2,cdots,n
]

那么其熵的定义为

[H(X)=H(P) = -sum_{i=1}^n p_i mathrm{log}p_i
]

那么当随机变量(X)只能取0, 1时，其熵为

[H(P) = -pmathrm{log}p-(1-p)mathrm{log}(1-p)
]

显然当(p)为0时或1时熵恰好为0，此时表明熵最小，说明随机变量(X)很稳定，若(p)为0.5，则熵对应最大，表明随机变量(X)很不确定，因为它取0或取1的概率相等，具有很大的不确定性。

条件熵

条服务器托管网件熵表示在已知随机变量(X)的条件下随机变量(Y)的不确定性。它通过下式定义

[H(Y|X) = sum_{i=1}^np_iH(Y|X=x_i)
]

其中(p_i=P(X=x_i))

信息增益

信息增益表示特征(X)给定的情况下对(Y)的不确定性减少的程度，因此需要知道原本(Y)的熵和给定(X)后的熵，由下式给出

[g(Y,X)=g(D,A)=H(D)-H(D|A)
]

其中

[H(D)=-sum_{k=1}^Kfrac{|C_k|}{|D|}mathrm{log}frac{C_k}{D}
]

[H(D|A)=sum_{i=1}^nfrac{|D_i|}{|D|}H(D_i|A=a_i)=-sum_{i=1}^nfrac{|D_i|}{|D|}sum_{k=1}^Kfrac{|D_{ik}|}{|D_i|}mathrm{log}frac{|D_{ik}|}{|D_i|}
]

其中(D)表示训练数据集，(A)表示所选特征。
通过上面的公式我们就可以计算出每个特征的信息增益啦，也就可以其进行排序，优先选择大的。

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决策树模型(2)特征选择

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