前置知识：分部积分法
例题
计算积分
I
n
=
∫
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
−
k
d
x
(
n
≥
1
)
I_n=int [(x+a)^2+b^2]^{-k}dx quad(ngeq 1)
In=∫[(x+a)2+b2]−kdx(n≥1)
解：
qquad
用分部积分法，对任何自然数
k
≥
1
kgeq 1
k≥1，有
I
k
=
∫
d
x
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
d
x
=
x
+
a
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
k
+
2
k
∫
(
x
+
a
)
2
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
k
+
1
d
x
qquad I_k=intdfrac{dx}{[(x+a)^2+b^2]}dx=dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2kintdfrac{(x+a)^2}{[(x+a)^2+b^2]^{k+1}}dx
Ik=∫[(x+a)2+b2]dxdx=[(x+a)2+b2]kx+a+2k∫[(x+a)2+b2]k+1(x+a)2dx
=
x
+
a
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
k
+
2
k
∫
[
1
(
(
x
+
a
)
2
+
b
2
)
k
−
b
2
(
(
x
+
a
)
2
+
b
2
)
k
+
1
]
d
x
qquad qquad =dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2kint[dfrac{1}{((x+a)^2+b^2)^k}-dfrac{b^2}{((x+a)^2+b^2)^{k+1}}]dx
=[(x+a)2+b2]kx+a+2k∫[((x+a)2+b2)k1−((x+a)2+b2)k+1b2]dx
=
x
+
a
[
(
x
+
a
)
2
+
b
2
]
k
+
2
k
I
k
−
2
k
b
2
⋅
I
k
+
1
qquad qquad =dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2kI_k-2kb^2cdot I_{k+1}
=[(x+a)2+b2]kx+a+2kIk−2kb2⋅Ik+1
由此可得
I
k
I_k
Ik的递推公式为
I
k
+
1
=
1
2
k
b
2
[
x
(
x
2
+
b
2
)
−
k
+
(
2
k
−
1
)
I
k
]
I_{k+1}=dfrac{1}{2kb^2}[x(x^2+b^2)^{-k}+(2k-1)I_k]
Ik+1=2kb21[x(x2+b2)−k+(2k−1)Ik]
当
k
=
1
k=1
k=1时，直接计算可得
I
1
=
∫
1
(
x
+
a
)
2
+
b
2
d
x
=
1
b
∫
d
(
x
+
a
b
)
1
+
(
x
+
a
b
)
2
=
1
b
arctan
(
x
+
a
b
)
+
C
I_1=int dfrac{1}{(x+a)^2+b^2}dx=dfrac 1bint dfrac{d(frac{x+a}{b})}{1+(frac{x+a}{b})^2}=dfrac 1barctan(dfrac{x+a}{b})+C
I1=∫(x+a)2+b21dx=b1∫1+(bx+a)2d(bx+a)=b1arctan(bx+a)+C
再由递推公式可得
I
2
,
I
3
.
…
,
I
n
I_2,I_3.dots,I_n
I2,I3.…,In的表达式。
服务器托管，北京服务器托管，服务器租用 http://www.fwqtg.net
