坐标系下的运动旋量转换
文章目录
- 坐标系下的运动旋量转换
- 前言
- 一、运动旋量
-
- 物体运动旋量
- 空间运动旋量
- 二、伴随变换矩阵
- 三、坐标系下运动旋量的转换
- 四、力旋量
- 五、总结
- 参考资料
前言
对于刚体而言，其角速度可以写为
^
hat {omega} dot theta
^，其中，
^
hatomega
^为单位转轴，
dot theta
为绕着转轴转动的角速度大小。运动旋量则用来描述物体角速度与线速度的组合。由于在机器人学中，运动旋量可能需要描述在不同坐标系之下，本文参考凯文M.林奇的《现代机器人学》，对运动旋量概念与坐标系下的运动旋量转换进行梳理与总结，便于自己后续回忆。
一、运动旋量
首先，定义有单位螺旋轴
S
=
(
,
v
x
,
v
y
,
v
z
)
（
=
1
）
S=(omega,v_x,v_y,v_z)（omega=1）
S=(,vx,vy,vz)（=1），利用旋转速度
dottheta
与之相乘，由此可得运动旋量
V
=
S
V=Sdottheta
V=S。这里注意：通过绕螺旋轴
S
S
S转动
theta
角的位移与以速度
=
dottheta=theta
=绕螺旋轴
S
S
S转动单位时间完全相等，因此，
V
=
S
V=Sdottheta
V=S可同样看作为指数坐标（刚体转动的指数坐标，可以等效为单位转轴
^
(
^
∈
R
3
,
∣
∣
^
∣
∣
=
1
)
hatomega(hatomegain R^3,||hatomega||=1)
^(^∈R3,∣∣^∣∣=1)）与绕该轴线的转角
∈
R
thetain R
∈R。
在对运动旋量有了大致了解以后，正式进入正题，即何为物体运动旋量、何为空间运动旋量。
物体运动旋量
首先，用
{
s
}
{s}
{s}与
{
b
}
{b}
{b}分别描述固定（空间）坐标系和移动（物体）坐标系。则有
T
s
b
(
t
)
=
[
R
(
t
)
p
(
t
)
0
1
]
T_{sb}(t)=begin{bmatrix} R(t) & p(t) pmb0 & 1 end{bmatrix}
Tsb(t)=[R(t)0p(t)1]
其中，
T
s
b
T_{sb}
Tsb表示从空间坐标系到物体坐标系的转换集合矩阵，后续可用
T
T
T代替。令
T
−
1
T
T^{-1}dot T
T−1T，则有
T
−
1
T
=
[
R
T
−
R
T
p
0
1
]
[
R
p
0
0
]
=
[
R
T
R
R
T
p
0
1
]
T^{-1}dot T=begin{bmatrix} R^T & -R^Tp pmb0 & 1 end{bmatrix}begin{bmatrix} dot R & dot p pmb0 & 0 end{bmatrix}=begin{bmatrix} R^Tdot R & R^Tdot p pmb0 & 1 end{bmatrix}
T−1T=[RT0−RTp1][R0p0]=[RTR0RTp1]
其中，
R
T
R
=
R
−
1
R
=
[
b
]
R^Tdot R=R^{-1}dot R=[omega_b]
RTR=R−1R=[b]，这里的
[
b
]
[omega_b]
[b]即为物体坐标系
{
b
}
{b}
{b}下的刚体角速度的反对称矩阵，
[
∗
]
[*]
[∗]符号代表
∗
*
∗的反对称矩阵。具体证明过程可参考书籍，这里不再展开。同理，
p
dot p
p代表坐标系
{
s
}
{s}
{s}中描述的
{
b
}
{b}
{b}的原点的线速度，因此，
R
T
p
=
R
−
1
p
=
v
b
R^Tdot p=R^{-1}dot p=v_b
RTp=R−1p=vb则为在物体坐标系
{
b
}
{b}
{b}中描述
{
s
}
{s}
{s}的原点的线速度。可进一步阐述为：
T
−
1
T
T^{-1}dot T
T−1T表示动坐标系相对于当前与其瞬时重合的静坐标系
{
b
}
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{b}
{b}的线速度与角速度。
构造六维向量
V
b
=
[
b
v
b
]
V_b=begin{bmatrix} omega_b v_b end{bmatrix}
Vb=[bvb]，定义其为物体坐标系中的速度，简称为物体运动旋量。写为矩阵形式为
T
−
1
T
=
[
V
b
]
=
[
[
b
]
v
b
0
1
]
∈
s
e
(
3
)
T^{-1}dot T=[V_b]=begin{bmatrix} [omega_b] & v_b pmb0 & 1 end{bmatrix} in se(3)
T−1T=[Vb]=[[b]0vb1]∈se(3)
这里可以注意，六维向量
V
b
V_b
Vb的反对称矩阵的撰写形式，即原部矢量
w
b
w_b
wb取反对称形式，偶部矢量不改变形式。
空间运动旋量
同理，可以推导
T
T
−
1
dot TT^{-1}
TT−1有
V
s
=
[
s
v
s
]
∈
R
6
,
T
T
−
1
=
[
V
s
]
=
[
[
w
s
]
v
s
0
1
]
∈
s
e
(
3
)
V_s=begin{bmatrix} omega_s v_s end{bmatrix} in R^6, dot TT^{-1}=[V_s]=begin{bmatrix} [w_s] & v_s pmb0 & 1 end{bmatrix} in se(3)
Vs=[svs]∈R6,TT−1=[Vs]=[[ws]0vs1]∈se(3)
此时，
V
s
V_s
Vs描述空间固定坐标系中的速度，因此被称为空间运动旋量。
二、伴随变换矩阵
在第一节中，描绘了分别在两个坐标系下的运动旋量，即
V
b
V_b
Vb与
V
s
V_s
Vs，那么，如果我们已知这两个坐标系的转换矩阵
T
s
b
=
(
R
s
b
,
p
s
b
)
∈
S
E
(
3
)
T_{sb}=(R_{sb},p_{sb})in SE(3)
Tsb=(Rsb,psb)∈SE(3)，我们是否可以对这两个运动旋量建立联系呢？答案就是伴随变换矩阵。即有
V
s
=
[
s
v
s
]
=
[
A
d
T
s
b
]
V
b
=
[
R
s
b
0
[
p
s
b
]
R
s
b
R
s
b
]
[
b
v
b
]
V_s=begin{bmatrix} omega_s v_s end{bmatrix}=[Ad_{T_{sb}}]V_b=begin{bmatrix} R_{sb} & pmb 0 [p_{sb}]R_{sb} & R_{sb} end{bmatrix} begin{bmatrix} omega_b v_b end{bmatrix}
Vs=[svs]=[AdTsb]Vb=[Rsb[psb]Rsb0Rsb][bvb]
其中，
[
A
d
T
s
b
]
=
[
R
s
b
0
[
p
s
b
]
R
s
b
R
s
b
]
∈
R
6
6
[Ad_{T_{sb}}]=begin{bmatrix} R_{sb} & pmb 0 [p_{sb}]R_{sb} & R_{sb} end{bmatrix} in R^{6times6}
[AdTsb]=[Rsb[psb]Rsb0Rsb]∈R66即为该伴随变换矩阵。
将其化为矩阵形式，则有
[
V
s
]
=
T
s
b
[
V
b
]
T
−
1
[V_s]=T_{sb}[V_b]T^{-1}
[Vs]=Tsb[Vb]T−1
三、坐标系下运动旋量的转换
结合第二、三节内容，即可总结空间、物体坐标系下运动旋量的转换关系：
T
s
b
(
t
)
=
T
(
t
)
=
[
R
(
t
)
p
(
t
)
0
1
]
∈
S
E
(
3
)
T_{sb}(t)=T(t)=begin{bmatrix} R(t) & p(t) pmb0 & 1 end{bmatrix}in SE(3)
Tsb(t)=T(t)=[R(t)0p(t)1]∈SE(3)仍表示固定坐标系
{
s
}
{s}
{s}到物体坐标系
{
b
}
{b}
{b}的位姿转换矩阵（这里的
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)即为一种特殊李群）。则有
物体运动旋量（body twist）
T
−
1
T
=
[
V
b
]
=
[
[
b
]
v
b
0
1
]
∈
s
e
(
3
)
T^{-1}dot T=[V_b]=begin{bmatrix} [omega_b] & v_b pmb0 & 1 end{bmatrix} in se(3)
T−1T=[Vb]=[[b]0vb1]∈se(3)
空间运动旋量（spatial twist）
T
T
−
1
=
[
V
s
]
=
[
[
s
]
v
s
0
1
]
∈
s
e
(
3
)
dot TT^{-1}=[V_s]=begin{bmatrix} [omega_s] & v_s pmb0 & 1 end{bmatrix} in se(3)
TT−1=[Vs]=[[s]0vs1]∈se(3)
运动旋量
V
b
V_b
Vb与
V
s
V_s
Vs存在关系为
V
s
=
[
s
v
s
]
=
[
R
s
b
0
[
p
s
b
]
R
s
b
R
s
b
]
[
b
v
b
]
=
[
A
d
T
s
b
]
V
b
V_s=begin{bmatrix} omega_s v_s end{bmatrix}=begin{bmatrix} R_{sb} & pmb 0 [p_{sb}]R_{sb} & R_{sb} end{bmatrix} begin{bmatrix} omega_b v_b end{bmatrix}=[Ad_{T_{sb}}]V_b
Vs=[svs]=[Rsb[psb]Rsb0Rsb][bvb]=[AdTsb]Vb
V
b
=
[
b
v
b
]
=
[
R
s
b
T
0
−
R
s
b
T
[
p
s
b
]
R
s
b
T
]
[
s
v
s
]
=
[
A
d
T
s
b
]
V
s
V_b=begin{bmatrix} omega_b v_b end{bmatrix}=begin{bmatrix} R_{sb}^T & pmb 0 -R_{sb}^T[p_{sb}] & R_{sb}^T end{bmatrix} begin{bmatrix} omega_s v_s end{bmatrix}=[Ad_{T_{sb}}]V_s
Vb=[bvb]=[RsbT−RsbT[psb]0RsbT][svs]=[AdTsb]Vs
这里友情提示下，在《现代机器人学》第三次印刷本中，对于
V
s
V_s
Vs到
V
b
V_b
Vb的转换似乎存在小错误，不过问题不大，一般都能看出来，自行矫正即可。
四、力旋量
与运动旋量对应的，也存在着力旋量的定义。对作用于空间物体上的力矩
m
a
m_a
ma与
f
a
f_a
fa，同样可将其合成为六维的空间力的形式，其称为力旋量（wrench），在坐标系
{
a
}
{a}
{a}中可描述为
F
a
=
[
m
a
f
a
]
∈
R
6
F_a=begin{bmatrix} m_a f_a end{bmatrix} in R^6
Fa=[mafa]∈R6
如若作用于刚体的力旋量不唯一，即将其通过力旋量的六维形式直接相加即可。无力元素的力旋量则被称为纯力偶（pure moment）。
关于力旋量的转换关系，基于系统功率一定原则，最终可推导出：
F
b
=
[
A
d
T
a
b
T
]
F
a
F_b=[Ad_{T_{ab}}^T]F_a
Fb=[AdTabT]Fa
其中，
F
a
F_a
Fa与
F
b
F_b
Fb分别为坐标系
{
a
}
{a}
{a}与坐标系
{
b
}
{b}
{b}中的力旋量，
T
a
b
T_{ab}
Tab为坐标系
{
a
}
{a}
{a}到坐标系
{
b
}
{b}
{b}的转换矩阵。
五、总结
在学习运动旋量与李群李代数时，一开始感觉确实有些晦涩且难以理解，但是在反复学习时，又感觉其形式简洁且非常实用，因此在这里学习记录，供后续参考。
参考资料
【1】https://www.bilibili.com/video/BV1KV411Z7sC/?p=17&vd_source=029a7426f7a6cecb96f1969e1ce8aff7。
【2】现代机器人学：机构、规划与控制。
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摘要 超声波探伤仪是目前工业制造和现代化检测的重要途径之一，广泛的应用在质量检测和产品检测中，通过使用其产品能够有效地降低产品次品的风险。尽管随着电子技术的发展， 国内出现了一些数字化的超声检测仪器，但其数据处理及扩展能力有限，缺乏足够的灵活性。本设计超声检测…
