基于量子随机游走的图像加密算法

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一、概述

  量子随机游走是一种基于量子力学的随机游走模型，其具有良好的随机性和不可预测性，因此被广泛应用于密码学中。基于量子随机游走的图像加密算法是一种新兴的加密算法，其基本思路是将明文图像转换为量子态，通过量子随机游走对量子态进行加密，最后将加密后的量子态转换为密文图像。

二、算法流程

  1. 将明文图像转换为量子态：首先将明文图像转换为二进制编码，然后将编码转换为对应的量子态。这可以通过一些常见的量子态制备方法来实现，例如 Hadamard 变换、相位旋转门等。

  2. 进行量子随机游走加密：将生成的量子态输入到哈密顿量中进行量子随机游走，以实现加密。其中哈密顿量的构造和具体实现方法可能有多种选择，例如可以利用 Grover 算法来进行哈密顿量的构造。

  3. 将加密后的量子态转换为密文图像：将加密后的量子态进行测量，然后将测量结果转换为对应的二进制编码，最后将编码还原为密文图像。

  需要注意的是，量子随机游走过程的成功与否取决于构造的哈密顿量，而构造哈密顿量是该算法的关键。此外，加密和解密过程中需要保证密钥的安全性，否则会导致算法失效。

  该算法具有很强的随机性和不可预测性，能够有效保护图像的安全性和隐私性。同时，由于量子随机游走具有高效的性质，因此该算法的加密效率也较高。但需要注意的是，该算法还处于研究阶段，其安全性和可靠性有待进一步验证和完善。

三、算法实现

  1. 图像像素置换的实现方式：可以通过使用置换矩阵的方式实现像素置换，也可以通过使用置换函数的方式实现像素置换。其中，置换矩阵可以通过随机生成一个置换矩阵来实现，置换函数可以通过使用一个随机的函数来实现。

  2. 图像像素值的量子态转换：需要将图像像素值转换成量子态。可以使用qiskit中的qubit来表示量子态，将图像像素值转换成qubit，然后通过量子门的操作，实现像素值的量子态转换。

  3. 量子随机游走的实现方式：可以通过使用量子随机游走的概率转移矩阵来实现，也可以通过使用量子随机游走的电路来实现。其中，概率转移矩阵可以通过随机生成一个概率转移矩阵来实现，量子随机游走的电路可以通过qiskit中的量子门和量子电路实现。

  4. 加密解密的实现方式：基于量子随机游走的图像加密算法可以通过对图像像素值进行加密，然后通过相反的过程对图像像素值进行解密。在实现过程中，需要注意加密和解密的过程是相反的，即解密过程需要使用加密过程中使用的参数和密钥。

  5. 算法的性能和安全性：需要考虑算法的性能和安全性。算法的性能可以通过对加密和解密的时间和空间复杂度进行分析来评估。算法的安全性可以通过对算法的加密强度进行分析来评估，例如，对算法的置换矩阵和概率转移矩阵进行分析，以及对算法的安全性进行模拟和实验验证。

四、部分功能代码实现

1.置换矩阵

  假设需要对一个n×n的图像进行像素置换，可以随机生成一个n×n的置换矩阵P来实现像素置换。置换矩阵P中的每一个元素都是0或1，且每一行和每一列都有且仅有一个元素为1，其余元素都为0。在像素置换的过程中，可以将原始图像的每一个像素的位置与置换矩阵P中对应的位置进行置换，从而实现像素的混淆。

MATLAB

function P = generate_permutation_matrix(n)
% 生成一个n×n的置换矩阵，用于图像像素置换

P = zeros(n);
for i = 1:n
    row_idx = randperm(n, 1);
    P(i, row_idx) = 1;
end

end

该函数使用MATLAB内置函数randperm生成一个n×1的随机排列向量row_idx，并将其赋值给置换矩阵P中的第i行中的第row_idx个元素。最后，将生成的置换矩阵P返回。

该函数可以通过输入置换矩阵的维度n来生成一个n×n的置换矩阵。例如，通过执行以下代码可以生成一个10×10的置换矩阵P：

P = generate_permutation_matrix(10);

Python

import numpy as np

def generate_permutation_matrix(n):
    """
    生成一个n×n的置换矩阵，用于图像像素置换

    Args:
        n: int, 置换矩阵的维度

    Returns:
        P: np.ndarray, n×n的置换矩阵
    """
    P = np.zeros((n, n), dtype=int)
    for i in range(n):
        row_idx = np.random.choice(n, size=1, replace=False)
        P[i][row_idx] = 1
    return P

该函数使用numpy库生成一个n×n的全0矩阵P，并随机生成每一行中的一个元素为1，从而生成置换矩阵P。最后，将生成的置换矩阵P返回。

2.置换函数

  在基于量子随机游走的图像加密算法中，需要使用置换函数对加密后的图像进行进一步混淆。置换函数可以将图像的每一个像素位置进行置换，从而增加破解的难度。

MATLAB

function permuted_image = permutation(image, P)
% 对图像进行像素置换

[n, ~] = size(image);
permuted_image = zeros(n);

for i = 1:n
    for j = 1:n
        new_i = find(P(:, i));
        new_j = find(P(:, j));
        permuted_image(new_i, new_j) = image(i, j);
    end
end

end

  该函数接受两个输入参数：待置换的图像和置换矩阵P。在函数内部，通过find函数查找P矩阵中值为1的元素所在的行和列，然后根据这些行和列将原始图像中的像素进行置换。最后，将置换后的图像返回。

  需要注意的是，该函数实现的置换是对灰度图像进行的，对于彩色图像，需要对每个颜色通道分别进行置换。

Python

import numpy as np

def permutation(image, P):
    """
    对图像进行像素置换

    Args:
        image: np.ndarray, 待置换的图像
        P: np.ndarray, 置换矩阵

    Returns:
        permuted_image: np.ndarray, 置换后的图像
    """
    n = image.shape[0]
    permuted_image = np.zeros_like(image)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            new_i, new_j = np.where(P == 1)[1][i], np.where(P == 1)[1][j]
            permuted_image[new_i, new_j] = image[i, j]
    return permuted_image

  该函数接受两个输入参数：待置换的图像和置换矩阵P。在函数内部，使用np.where函数查找P矩阵中值为1的元素所在的位置，并根据这些位置将原始图像中的像素进行置换。最后，将置换后的图像返回。

  需要注意的是，该函数实现的置换是对灰度图像进行的，对于彩色图像，需要对每个颜色通道分别进行置换。

3.图像像素值转换成量子态

  在量子图像加密算法中，需要将图像的像素值转换成对应的量子态，以便进行后续的量子操作。这个过程可以通过将每个像素值表示为二进制数，然后将每一位作为一个量子比特，转换成对应的量子态

MATLAB

function qc = pixel_to_quantum(image)
% 将图像的像素值转换成量子态

n = size(image, 1);
q = qubit(n);
qc = quantumCircuit(q);

for i = 1:n
    for j = 1:n
        % 将像素值表示为二进制数
        binary = dec2bin(image(i, j), 8) - '0';
        % 将每一位作为一个量子比特，转换成对应的量子态
        for k = 1:length(binary)
            if binary(k) == 1
                qc.x(q(k));
            end
        end
        qc.barrier();
    end
end

end

  在MATLAB中，可以使用Quantum Computing Toolbox来实现将图像像素值转换成量子态。

  该函数接受一个输入参数：待转换的图像。在函数内部，首先获取图像的大小n，然后创建一个包含n个量子比特的量子电路对象。接下来，对于每一个像素值，将其表示为8位二进制数，并将每一位作为一个量子比特，通过在量子电路中添加X门将其转换成对应的量子态。最后，将量子电路对象返回。

  需要注意的是，该示例代码中假设图像是8位灰度图像，对于其他位数的灰度图像或彩色图像，需要相应地进行修改。另外，在转换过程中，也可以对像素值进行量子编码，以便在加密过程中加强图像的保密性。

Python

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister

def pixel_to_quantum(image):
    """
    将图像的像素值转换成量子态

    Args:
        image: np.ndarray, 待转换的图像

    Returns:
        qc: QuantumCircuit, 量子电路对象
    """
    n = image.shape[0]
    qc = QuantumCircuit(n, name='PixelToQuantum')
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            # 将像素值表示为二进制数
            binary = bin(image[i, j])[2:].zfill(8)
            # 将每一位作为一个量子比特，转换成对应的量子态
            for k, bit in enumerate(binary):
                if bit == '1':
                    qc.x(k)
            qc.barrier()
    return qc

  在量子图像加密算法中，需要将图像的像素值转换成对应的量子态，以便进行后续的量子操作。这个过程可以通过将每个像素值表示为二进制数，然后将每一位作为一个量子比特，转换成对应的量子态。

  该函数接受一个输入参数：待转换的图像。在函数内部，首先获取图像的大小n，然后创建一个包含n个量子比特的量子电路对象。接下来，对于每一个像素值，将其表示为8位二进制数，并将每一位作为一个量子比特，通过在量子电路中添加X门将其转换成对应的量子态。最后，将量子电路对象返回。

  需要注意的是，该示例代码中假设图像是8位灰度图像，对于其他位数的灰度图像或彩色图像，需要相应地进行修改。另外，在转换过程中，也可以对像素值进行量子编码，以便在加密过程中加强图像的保密性。

4.量子随机游走的代码实现

  量子随机游走是一个重要的量子算法，可以用于图像加密中的置换操作。在MATLAB中，可以使用Quantum Computing Toolbox来实现量子随机游走。

function qc = quantum_random_walk(n)
% 量子随机游走

q = qubit(n);
qc = quantumCircuit(q);

% 初始化量子比特为均匀叠加态
for i = 1:n
    qc.h(q(i));
end
qc.barrier();

% 定义角度和目标状态
angle = pi / 4;
target = zeros(1, n);
target(1) = 1;

% 执行量子随机游走
for i = 1:n
    % 应用哈达玛门
    qc.h(q(i));
    qc.barrier();
    % 应用相位门
    for j = 1:n
        if j == i
            continue;
        end
        qc.cphase(angle, q(j), q(i));
    end
    qc.barrier();
    % 应用反射门
    qc.mct(q(1:n-1), q(n), [], 'inverse');
    qc.barrier();
end

% 应用逆哈达玛门
for i = 1:n
    qc.h(q(i));
end
qc.barrier();

end

  该函数接受一个输入参数n，表示量子比特的数量。在函数内部，首先创建一个包含n个量子比特的量子电路对象，并将所有量子比特初始化为均匀叠加态。接下来，定义角度和目标状态，并按照量子随机游走算法的步骤依次应用哈达玛门、相位门、反射门和逆哈达玛门。最后，将量子电路对象返回。

  需要注意的是，该示例代码中仅实现了一次量子随机游走，而在实际应用中通常需要多次执行量子随机游走以增强图像的置换效果。此外，量子随机游走的参数设置对于图像加密的效果也有重要影响，需要根据具体情况进行调整。

5.使用量子随机游走的概率转移矩阵来实现量子随机游走

  在图像加密中，可以使用量子随机游走的概率转移矩阵来实现置换操作。假设有n个像素点，可以将每个像素点表示为一个n维的列向量，其中每个维度表示像素点的取值。量子随机游走的概率转移矩阵可以定义为：

  P = (1/2n) * (I – D),

  其中I是n维的单位矩阵，D是度数矩阵，定义为：

  D(i, i) = sum(P(i, j)) (i = 1, 2, …, n)

  可以使用MATLAB来实现量子随机游走的概率转移矩阵，代码如下：

function [P, D] = quantum_random_walk_matrix(n)
% 量子随机游走的概率转移矩阵

% 初始化单位矩阵和度数矩阵
I = eye(n);
D = zeros(n);

% 计算度数矩阵
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i == j
            continue;
        end
        D(i, i) = D(i, i) + 1/norm(i-j, 2);
    end
end

% 计算概率转移矩阵
P = (1/2/n) * (I - D);

end

  该函数接受一个输入参数n，表示像素点的数量。在函数内部，首先初始化单位矩阵和度数矩阵，并计算度数矩阵的每个元素。接下来，按照概率转移矩阵的定义计算概率转移矩阵P，并将度数矩阵D和概率转移矩阵P作为输出返回。

  需要注意的是，在实际应用中，量子随机游走的概率转移矩阵需要与图像进行对应，即将像素点的n维列向量按照概率转移矩阵进行置换。此外，量子随机游走的概率转移矩阵的参数设置也对图像加密的效果有重要影响，需要根据具体情况进行调整。

6.使用qiskit中的量子门和量子电路实现量子随机游走

  在qiskit中，可以通过使用qiskit.quantum_info库中的量子门和量子电路来实现量子随机游走。

示例代码

首先，需要导入必要的库和模块：

from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister, ClassicalRegister
 from qiskit.quantum_info import Operator

然后，需要构造一个初始的量子电路，其中包含每个像素值对应的量子比特。假设我们要处理的是一个4比特的图像，那么可以这样构造电路：

qr = QuantumRegister(4, 'q')
 cr = ClassicalRegister(4, 'c')
 circuit = QuantumCircuit(qr, cr)
接下来，需要将每个像素值转换为一个复数，并将其作为量子比特的初始态。可以使用qiskit.quantum_info.Statevector.from_label()函数来实现这一步骤：

import numpy as np

# 假设像素值为[1, 2, 3, 4]
initial_state = np.array([1, 2, 3, 4]) / np.sqrt(np.sum(np.square([1, 2, 3, 4])))
circuit.initialize(initial_state, [qr[0], qr[1], qr[2], qr[3]])

接下来，需要构造量子随机游走的概率转移矩阵。可以使用qiskit.quantum_info.Operator.from_label()函数来实现这一步骤。例如，可以使用Grover的搜索算法来构造一个概率转移矩阵：

# 构造一个包含两个目标状态的搜索算法
grover_op = Operator.from_label('10')
diffusion_op = Operator.from_label('H' * 4) * Operator.from_label('X' * 4) * Operator.from_label('H' * 4) * Operator.from_label('Z' * 4) * Operator.from_label('H' * 4)
grover_op = diffusion_op * grover_op * diffusion_op

# 将概率转移矩阵作为一个量子门添加到电路中
circuit.append(grover_op, [qr[0], qr[1], qr[2], qr[3]])

最后，可以测量电路的输出结果，并将结果转换为像素值。可以使用qiskit的simulator模块来模拟电路的输出结果，例如：

from qiskit import Aer, execute

simulator = Aer.get_backend('qasm_simulator')
result = execute(circuit, simulator).result()
counts = result.get_counts(circuit)

# 将测量结果转换为像素值
pixel_values = []
for key in counts.keys():
    pixel_value = int(key, 2)
    pixel_values.append(pixel_value)

 这样就可以实现量子随机游走，并将量子态转换为像素值。

通过 qiskit 框架来实现量子随机游走的电路

导入必要的包和模块：

from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import QFT
from qiskit.quantum_info.operators import Operator
import numpy as np
定义量子寄存器和量子电路：

# 定义量子寄存器
qr = QuantumRegister(n, name='q')

# 定义经典寄存器
cr = ClassicalRegister(n, name='c')

# 定义量子电路
qc = QuantumCircuit(qr, cr, name='qrw')

其中，n 表示量子比特数。接着，我们需要定义概率转移矩阵和其对应的量子门： 

# 定义概率转移矩阵
p = np.zeros((2 ** n, 2 ** n))
for i in range(2 ** n):
    for j in range(2 ** n):
        if i == j:
            p[i][j] = 1 / (2 ** n)
        else:
            p[i][j] = (1 - gamma) / (2 ** n - 1)
    p[i] = p[i] / np.linalg.norm(p[i])

# 将概率转移矩阵转换为量子门
p_gate = Operator(p)

 其中，gamma 表示随机游走参数。接下来，我们需要将概率转移矩阵作用于量子电路上：

qc.unitary(p_gate, qr)
然后，我们需要添加逆量子傅里叶变换和测量操作：

qc.append(QFT(n, do_swaps=False).inverse(), qr)
 qc.measure(qr, cr)
最后，我们可以通过 qiskit 提供的模拟器进行模拟和测试：

from qiskit import Aer, execute

backend = Aer.get_backend('qasm_simulator')
job = execute(qc, backend, shots=1024)
result = job.result()
counts = result.get_counts(qc)
print(counts)

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