这篇就扯一下等差数列，只要看到等差数列，就应该有条件反射的想起它的”基本性质”，“扩充性质”和“判定方法”，之后俺们就可以对
相应的题目进行秒杀。
一：基本性质
1：通项公式： an=a1+(n-1)d;
2: 前n项和公式： Sn=n(a1+an)/2;
Sn=na1+nd(n-1)/2;
二： 判定方法
1: an+1 -an=d(常数) => {an}是等差数列。
2：2an+1=an+an+2 => {an}是等差数列。
3: an=kn+b (k,b为常数) => {an}是等差数列。 当然这个是将通项公式变形为一次函数，原型为: an=nd+(a1+d)。
4：Sn=An2+Bn(A,B为常数) => {an}是等差数列。 原理同上，将前N项和公式变形为一元二次函数。
三：扩充性质
1： an=am+(n-m)d => 这个公式得益于an和am的通向公式相减。
比如：a9=a7+2d。
2: 若m+n=l+r => am+an=al+ar。
比如：a1+a8=a2+a7。
3： (n+1)an-nan=d(常数) => {nan}是等差数列。
4： 若an为等差数列，则数列{λan+b}(λ,b为常数)是公差为λd的等差数列。
比如：{3an+2} 的数列公差为3d。
5: 若an，bn都为等差数列，则{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2为常数)是公差为λ1d1+λ2d2的等差数列。
比如：{2an+3bn}的数列公差为2d1+3d2。
6： 若an为等差数列，则 ak,ak+m,ak+2m也仍然为等差数列，公式为md。
四：几种模型问题
1： 我们知道an-an-1=d(常数)就认为是{an}是等差数列，当d=bn这样的一个变量的时候该如何处理，模型为an-an-1=bn。
证明: 由倒序相加法逆推可知，an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
=bn+bn-1+…+b2
具体的例子有： 若a1=1,an=an-1+4n,求an的问题。
2：数列的一阶特征方程【对an=pan-1+q(p!=+-1,q!=0)】的递推公式的通用解法
比如”猴子吃桃“问题的通项公式为：an=2an-1+2的通用解法如下：
①：通过模型对比，可知: p=2，q=2。
②:将an,an-1替换为x。求出{an}数列的特征根x。
则 x=2x+2
=> x=-2
③：代入an的通用模型公式： an-x=(a1-x)pn-1
=> an+2=(1+2)*2n-1
=> an=3*2n-1-2 （哈哈，是不是很神奇，对这种模型我们现在有了通用解法,秒杀秒杀）
五：几个小实际应用
有了这些神器，等差数列的问题相信我们有了比较扎实的基础了,已经不怕不怕了。
1：甲乙两个物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1min走2m，以后每分钟比前1min多走1m，乙每分钟走5m。
(1) 甲乙开始运动后几分钟相遇。
(2) 如果甲乙达到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1min多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后
第二次相遇。
解答：
其实第一小题如果看的出来是等差数列，那么这个问题基本就解决出来一半了。
甲： 其实是a1=2，d=1的等差数列，则甲在nmin内走了 2n+n(n-1)/2。
乙： 在nmin内走了5n。
=> 2n+n(n-1)/2+5n=70
=> n=7 or n=-20(舍去)
最后我们知道在min=7的时候第一次相遇。
将n=7代入甲可知a7=8，则第二次相遇时以a8=9为首项，记为bn。
则甲在这kmin内运动距离和为: 9k+k(k-1)/2。
则乙在kmin内运动距离还是为5k。
=> 9k+k(k-1)/2+5k=70*2
=> k=8 or k=-35(舍)
当然这个问题我们也可以用code去实现，当然什么样的知识程度决定了复杂度。
2：用分期付款的方式购买了家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都付50元，并加付欠款利息，
月利息1%，利息不计入欠款，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问全部付款完后，买这件家电实际
花了多少钱？
解答：
当然这套题仔细一分析还是一套等差数列的题目，付了150元后，余款的1000需要分期付款，每月50元，所以20次就可以付
清了，我们只要求S20即可。
a1=50+1000 * 0.1=60
a2=50+(1000-50)=59.5
…
an=50+(1000-(n-1)*50)
则{an}是以a1=60,d=-0.5为公差的等差数列。
则 S总=S20+150={20*[60+(60-19*0.5)]/2}+150=1255
最后我们也就得出了全部付款后需要总额1255元。
关于等差数列的实际应用太多太多，平时练习的题目都是直接揭露本质，不被这些文字糖所包裹…
服务器托管，北京服务器托管，服务器租用 http://www.fwqtg.net
机房租用，北京机房租用，IDC机房托管， http://www.e1idc.net
