若向量空间
V
mathcal V
V存在子空间
X
mathcal X
X与
Y
mathcal Y
Y，当
X
+
Y
=
V
X
∩
Y
=
0
mathcal {Xtext{+}Ytext{=}V} mathcal {X}cap mathcal {Y}=0
X+Y=VX∩Y=0
时称子空间
X
mathcal X
X与
Y
mathcal Y
Y是完备的，其中记为
X
⊕
Y
=
V
mathcal X oplus mathcal Y = mathcal V
X⊕Y=V
若存在
X
⊕
Y
=
V
mathcal X oplus mathcal Y = mathcal V
X⊕Y=V， 对于
x
∈
X
,
y
∈
Y
,
v
∈
V
xin mathcal X,y in mathcal Y,v in mathcal V
x∈X,y∈Y,v∈V，满足
v
=
x
+
y
v=x+y
v=x+y，则向量
x
服务器托管网 x
x被称为向量
v
v
v沿着
Y
mathcal Y
Y到
X
mathcal X
X 空间的投影，向量
y
y
y被称为向量
v
v
v沿着
X
mathcal X
X到
Y
mathcal Y
Y 空间的投影，若存在
P
v
=
x
Pv=x
Pv=x，
P
P
P被称为沿着
Y
mathcal Y
Y到
X
mathcal X
X 空间的投影算子，其中
-
P
2
=
P
P^2=P
P2=P -
1
−
P
1-P
1−P沿着X
mathcal X
X到Y
mathcal Y
Y 空间的投影算子 -
R
(
P
)
=
N
(
1
−
P
)
=
X
R(P)=N(1-P)=mathcal X
R(P)=N(1−P)=X -
N
(
P
)
=
R
(
1
−
P
)
=
Y
N(P)=R(1-P)=mathcal Y
N(P)=R(1−P)=Y
若
V
=
R
n
V=mathfrak R^n
V=Rn，则
P
[
X
∣
Y
]
=
[
X
∣
0
]
P[mathbf X|mathbf Y]=[mathbf X|mathbf 0]
P[X∣Y]=[X∣0]，即
P
=
[
X
∣
0
]
[
X
∣
Y
]
−
1
=
[
X
∣
0
]
(
I
0
0
0
)
[
X
∣
Y
]
−
1
P=[mathbf X|mathbf 0][mathbf X|mathbf Y]^{-1}=[mathbf X|mathbf 0]begin{pmatrix}mathbf I&mathbf0mathbf 0&mathbf 0end{pmatrix}[mathbf X|mathbf Y]^{-1}
P=[X∣0][X∣Y]−1=[X∣0](I000)[X∣Y]−1，其中
X
,
Y
mathbf X,mathbf Y
X,Y分别表示
X
,
Y
mathcal X ,mathcal Y
X,Y的一组基
值域零空间分解
若存在一个k，满足
rank
(
A
k
)
=
rank
(
A
k
+
1
)
text{rank}(A^k)=text{rank}(A^{k+1})
rank(Ak)=rank(Ak+1)，则将最小的那个k值称为index，其中非奇异矩阵的index为0
对于奇异矩阵
A
n
n
A_{ntimes n}
Ann，存在一个index k，使得$R(A^k)oplus N(A^k)=mathfrak R^n $
若存在一个矩阵
A
k
=
0
A^k=0
Ak=0，其中index(A)=0，则矩阵A被称为幂零矩阵
核—幂零分解
如果A是一个
n
n
ntimes n
nn 的index为k的奇异矩阵，其中
rank
(
A
k
)
=
r
text{rank}(A^k)=r
rank(Ak)=r，则存在一个非奇异矩阵
Q
Q
Q， 满足
Q
−
1
A
Q
=
(
C
r
r
0
0
N
)
left.mathbf{Q}^{-1}mathbf{A}mathbf{Q}=left(begin{array}{cc}mathbf{C}_{rtimes r}&mathbf{0}mathbf{0}&mathbf{N}end{array}right.right)
Q−1AQ=(Crr00N)
其中
C
C
C是非奇异矩阵，
N
N
N是index为k的幂零矩阵，其中
Q
Q
Q为矩阵
A
k
A^k
Ak的值域空间和零空间的基的组合
若存在
A
=
Q
(
C
0
0
N
)
Q
−
1
left.mathbf{A}=mathbf{Q}left(begin{array}{ll}mathbf{C}&0&mathbf{N}end{array}right.right)mathbf{Q}^{-1}
A=Q(C00N)Q−1,则
A
D
=
Q
(
C
−
1
0
0
0
)
Q
−
1
left.mathbf{A}^D=mathbf{Q}left(begin{array}{ll}mathbf{C}^{-1}&0&0end{array}right.right)mathbf{Q}^{-1}
AD=Q(C−1000)Q−1,其中
A
D
A^D
AD被称为A的广义逆
对于矩阵
A
=
(
−
2
0
−
4
4
2
4
3
2
2
)
left.textbf{A}=left(begin{array}{rrr}-2&0&-44&2&43&2&2end{array}right.right)
A=
−243022−442
，计算出 core-nilpoten 的分解形式，并给出对应的 Drazin 逆的形式。
直接计算可得
:
r
a
n
k
(
A
)
=
2
,
r
a
n
k
(
A
2
)
=
1
,
r
a
n
k
(
A
3
)
=
1
::rank(mathbf{A})=2,:rank(mathbf{A^2})=1,:rank(mathbf{A^3})=1
:rank(A)=2,rank(A2)=1,rank(A3)=1, 由此可知
:
i
n
d
e
x
(
A
)
=
2.
:index(mathbf{A})=2.
:index(A)=2. 由 core-nilpotent 分解可知，矩阵
Q
=
[
X
∣
Y
]
mathbf{Q}=[mathbf{X}|mathbf{Y}]
Q=[X∣Y], 这里
X
mathbf{X}
X 和 Y 分别为
R
(
A
2
)
R(mathbf{A}^2)
R(A2) 和
N
(
A
2
)
N(mathbf{A}^2)
N(A2) 的一组基。从而直接计算可得，
X
=
(
−
8
12
8
)
,
Y
=
(
−
1
0
1
0
0
1
)
,
left.mathbf{X}=left(begin{array}{rr}-8128end{array}right.right),quadmathbf{Y}=left(begin{array}{rr}-1&01&0&1end{array}right),
X=
−8128
,Y=
−110001
,
可得
Q
=
(
−
8
−
1
0
12
1
0
8
0
1
)
left.mathbf{Q}=left(begin{array}{rrr}-8&-1&012&1&08&0&1end{array}right.right)
Q=
−8128−110001
所以
Q
−
1
A
Q
=
(
1
4
1
4
0
−
3
−
2
0
−
2
−
2
1
)
(
−
2
0
−
4
4
2
4
3
2
2
)
(
−
8
−
1
0
12
1
0
8
0
1
)
=
(
2
0
0
0
−
2
4
0
−
1
2
)
left.mathbf{Q}^{-1}mathbf{A}mathbf{Q}=left(begin{array}{rrr}frac{1}{4}&frac{1}{4}&0-3&-2&0-2&-2&1end{array}right.right)left(begin{array}{rrr}-2&0&-44&2&43&2&2end{array}right)left(begin{array}{rrrr}-8&-1&012&1&08&0&1end{array}right)=left(begin{array}{rrr}2&0&0&-2&4&-1&2end{array}right)
Q−1AQ=
41−3−241−2−2001
−243022−442
−8128−110001
=
2000−2−1042
因为
Q
−
1
A
Q
=
(
C
0
0
N
)
,
C
=
(
2
)
,
N
=
(
−
2
4
−
1
2
)
left.mathbf{Q}^{-1}mathbf{AQ}=left(begin{array}{ll}mathbf{C}&mathbf{0}mathbf{0}&mathbf{N}end{array}right.right),left.mathbf{C}=(2),mathbf{N}=left(begin{array}{cc}-2&4-1&2end{array}right.right)
Q−1AQ=(C00N),C=(2),N=(−2−142)
所以
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tomcat是什么 Tomcat是一个免费的开放源代码的Web应用服务器，属于轻量级应用服务器，在中小型系统和并发访问用户不是很多的场合下被普遍使用，是开发和调试JSP程序的首选。Tomcat技术先进、性能稳定，而且免费，因而深受Java爱好者的喜爱并得到了部…
