1.归一化基础知识点
1.1 归一化作用
归一化是一种数据处理方式，能将数据经过处理后限制在某个固定范围内。
归一化存在两种形式，
- 一种是在通常情况下，将数处理为 [0, 1] 之间的小数，其目的是为了在随后的数据处理过程中更便捷。例如，在图像处理中，就会将图像从 [0, 255] 归一化到 [0, 1]之间，这样既不会改变图像本身的信息储存，又可加速后续的网络处理。
- 其他情况下，也可将数据处理到 [-1, 1] 之间，或其他的固定范围内。另一种是通过归一化将有量纲表达式变成无量纲表达式。
那么什么是量纲，又为什么需要将有量纲转化为无量纲呢？具体举一个例子。当我们在做对房价的预测时，收集到的数据中，如房屋的面积、房间的数量、到地铁站的距离、住宅附近的空气质量等，都是量纲，而他们对应的量纲单位分别为平方米、个数、米、AQI等。这些量纲单位的不同，导致数据之间不具有可比性。同时，对于不同的量纲，数据的数量级大小也是不同的，比如房屋到地铁站的距离可以是上千米，而房屋的房间数量一般只有几个。经过归一化处理后，不仅可以消除量纲的影响，也可将各数据归一化至同一量级，从而解决数据间的可比性问题。
- 归一化可以将有量纲转化为无量纲，同时将数据归一化至同一量级，解决数据间的可比性问题。在回归模型中，自变量的量纲不一致会导致回归系数无法解读或错误解读。在KNN、Kmeans等需要进行距离计算的算法中，量纲的量级不同可能会导致拥有较大量级的特征在进行距离计算时占主导地位，从而影响学习结果。
- 数据归一化后，寻求最优解的过程会变得平缓，可以更快速的收敛到最优解。详解请参见3.为什么归一化能提高求解最优解的速度。
1.2 归一化提高求解最优解的速度
我们提到一个对房价进行预测的例子，假设自变量只有房子到地铁站的距离x1和房子内房间的个数x2，因变量为房价，预测公式和损失函数分别为
$$begin{array}{l}y=theta_1x_1+theta_2x_2\ J=(theta_1x_1+theta_2x_2-y_{label})^2end{array}$$
在未归一化时，房子到地铁站的距离的取值在0～5000之间，而房间个数的取值范围仅为0～10。假设x1=1000，x2=3， 那么损失函数的公式可以写为：
$$J=left(1000theta_1+3theta_2-y_{label}right)^2$$
可将该损失函数寻求最优解过程可视化为下图：图1: 损失函数的等高线，图1（左）为未归一化时，图1（右）为归一化
在图1中，左图的红色椭圆代表归一化前的损失函数等高线，蓝色线段代表梯度的更新，箭头的方向代表梯度更新的方向。寻求最优解的过程就是梯度更新的过程，其更新方向与登高线垂直。由于x1和 x2的量级相差过大，损失函数的等高线呈现为一个瘦窄的椭圆。因此如图1（左）所示，瘦窄的椭圆形会使得梯度下降过程呈之字形呈现，导致梯度下降速度缓慢。
当数据经过归一化后，$$x_1^{‘}=frac{1000-0}{5000-0}=0.2,x_2^{‘}=frac{3-0}{10-0}=0.3,$$,那么损失函数的公式可以写为：
$$J(x)=left(0.2theta_1+0.3theta_2-y_{label}right)^2$$
我们可以看到，经过归一化后的数据属于同一量级，损失函数的等高线呈现为一个矮胖的椭圆形（如图1（右）所示），求解最优解过程变得更加迅速且平缓，因此可以在通过梯度下降进行求解时获得更快的收敛。
1.3 归一化类型
1.3.1 Min-max normalization (Rescaling)：
$$x^{‘}=dfrac{x-min(x)}{max(x)-min(x)}quadquad$$
归一化后的数据范围为 [0, 1]，其中 min(x)、max(x)分别求样本数据的最小值和最大值。
1.3.2 Mean normalization：
$$x^{‘}=dfrac{x-mean(x)}{max(x)-min(x)}quadtext{}$$
1.3.3 Z-score normalization (Standardization)：标准化
$$x^{‘}=dfrac{x-mu}{sigma}$$
归一化后的数据范围为实数集，其中 μ、σ分别为样本数据的均值和标准差。
1.3.4 非线性归一化：
- 对数归一化：
$$x^{‘}=dfrac{lg x}{lg max(x)}$$ - 反正切函数归一化：
$$x^{‘}=arctan(x)*dfrac{2}{pi}quad$$
归一化后的数据范围为 [-1, 1]
- 小数定标标准化（Demical Point Normalization）:
$$x^{‘}=dfrac{x}{10^{j}}$$
归一化后的数据范围为 [-1, 1]，j为使$$max(|x’|)
1.4 不同归一化的使用条件
- Min-max归一化和mean归一化适合在最大最小值明确不变的情况下使用，比如图像处理时，灰度值限定在 [0, 255] 的范围内，就可以用min-max归一化将其处理到[0, 1]之间。在最大最小值不明确时，每当有新数据加入，都可能会改变最大或最小值，导致归一化结果不稳定，后续使用效果也不稳定。同时，数据需要相对稳定，如果有过大或过小的异常值存在，min-max归一化和mean归一化的效果也不会很好。如果对处理后的数据范围有严格要求，也应使用min-max归一化或mean归一化。
- Z-score归一化也可称为标准化，经过处理的数据呈均值为0，标准差为1的分布。在数据存在异常值、最大最小值不固定的情况下，可以使用标准化。标准化会改变数据的状态分布，但不会改变分布的种类。特别地，神经网络中经常会使用到z-score归一化，针对这一点，我们将在后续的文章中进行详细的介绍。
- 非线性归一化通常被用在数据分化程度较大的场景，有时需要通过一些数学函数对原始值进行映射，如对数、反正切等。
在查找资料的时候，我看到很多文章都提出了：“在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候，z-score归一化也就是标准化的效果比归一化要好，但是对于这个观点并没有给出足够的技术支持。因此，我选取了KNN分类网络搜索了相关论文，在论文Comparative Analysis of KNN Algorithm using Various Normalization Techniques [1] 中，在K值不同的情况下，对于相同的数据分别进行min-max归一化和z-score归一化，得到的结果如下图所示：图2: 对于不同的K值，相同数据集不同归一化方式下的预测精确度
由此可以看到，至少对于KNN分类问题，z-score归一化和min-max归一化的选择会受到数据集、K值的影响，对于其他的分类和聚类算法，哪一种归一化的方法更好仍有待验证。最好的选择方法就是进行实验，选择在当前实验条件下，能够使模型精度更高的一种。
1.5 归一化和标准化的联系与区别
谈到归一化和标准化可能会存在一些概念的混淆，我们都知道归一化是指normalization，标准化是指standardization，但根据wiki上对feature scaling方法的定义，standardization其实就是z-score normalization，也就是说标准化其实是归一化的一种，而一般情况下，我们会把z-score归一化称为标准化，把min-max归一化简称为归一化。在下文中，我们也是用标准化指代z-score归一化，并使用归一化指代min-max归一化。
其实，归一化和标准化在本质上都是一种线性变换。在4.归一化类型中，我们提到了归一化和标准化的公式，对于归一化的公式，在数据给定的情况下，可以令a=max(x)−min(x)、b=min(x)，则归一化的公式可变形为：
$$x^{‘}=dfrac{x-b}{a}=dfrac{x}{a}-dfrac{b}{a}=dfrac{x}{a}-c$$
标准化的公式与变形后的归一化类似，其中的μ和σ在数据给定的情况下，可以看作常数。因此，标准化的变形与归一化的类似，都可看作对x按比例a进行缩放，再进行c个单位的平移。由此可见，归一化和标准化的本质都是一种线性变换，他们都不会因为对数据的处理而改变数据的原始数值排序。
那么归一化和标准化又有什么区别呢？
- 归一化不会改变数据的状态分布，但标准化会改变数据的状态分布；
- 归一化会将数据限定在一个具体的范围内，如 [0, 1]，但标准化不会，标准化只会将数据处理为均值为0，标准差为1。
References:【1】Comparative Analysis of KNN Algorithm using Various Normalization Techniques；Amit Pandey，Achin Jain.
2. 层归一化
神经网络的学习过程本质上是在学习数据的分布，如果没有进行归一化的处理，那么每一批次的训练数据的分布是不一样的，
- 从大的方向上来看，神经网络则需要在这多个分布当中找到平衡点，
- 从小的方向上来看 ，由于每层的网络输入数据分布在不断地变化 ，那么会导致每层网络都在找平衡点，显然网络就变得难以收敛 。
当然我们可以对输入数据进行归一化处理（例如对输入图像除以255），但这也仅能保证输入层的数据分布是一样的，并不能保证每层网络输入数据分布是一样的，所以在网络的中间我们也是需要加入归一化的处理。
归一化定义：数据标准化(Normalization)，也称为归一化，归一化就是将需要处理的数据在通过某种算法经过处理后，将其限定在需要的一定的范围内
2.1 层归一化产生原因
- 一般的批归一化（Batch Normalization，BN）算法对mini-batch数据集过分依赖，无法应用到在线学习任务中（此时mini-batch数据集包含的样例个数为1），在递归神经网络（Recurrent neural network，RNN）中BN的效果也不明显 ；
- RNN多用于自然语言处理任务，网络在不同训练周期内输入的句子，句子长度往往不同，在RNN中应用BN时，在不同时间周期使用mini-batch数据集的大小都需要不同，计算复杂，而且如果一个测试句子比训练集中的任何一个句子都长，在测试阶段RNN神经网络预测性能会出现严重偏差。如果更改为使用层归一化，就可以有效的避免这个问题。
层归一化：通过计算在一个训练样本上某一层所有的神经元的均值和方差来对神经元进行归一化。
$$muleftarrowdfrac{1}{H}sum_{i=1}^{H}x_i\ sigmaleftarrowsqrt{dfrac{1}{H}sum_{i=1}^{H}(x_i-mu_D)^2+epsilon}\ vdots\ y=f(dfrac{g}{sigma}(x-mu)+b)$$
相关参数含义：
- x : 该层神经元的向量表示
- H : 层中隐藏神经元个数
- ϵ : 添加较小的值到方差中以防止除零
- g: 再缩放参数（可训练），新数据以g2为方差
- b: 再平移参数（可训练），新数据以b为偏差
- f：激活函数
算法作用
- 加快网络的训练收敛速度 在深度神经网络中，如果每层的数据分布都不一样，将会导致网络非常难以收敛和训练（如综述所说难以在多种数据分布中找到平衡点），而每层数据的分布都相同的情况，训练时的收敛速度将会大幅度提升。
控制梯度爆炸和防止梯度消失 我们常用的梯度传递的方式是由深层神经元往浅层传播，如果用f′i和O′i分别表示第i层对应的激活层导数和输出导数，那么对于H层的神经网络，第一层的导数$$F_1’=prod_{i=1}^{H}f_i’*O_i’$$，那么对于$$f_i’*O_i’$$恒大于1的情况，如$$f_i’*O_i’=2$$的情况，使得结果指数上升，发生梯度爆炸，对于$$f_i’*O_i’$$恒小于1，如$$f_i’*O_i’=0.25$$导致结果指数下降，发生梯度消失的现象，底层神经元梯度几乎为0。采用归一化算法后，可以使得f_i’*O_i’$$f_i’*O_i’$$的结果不会太大也不会太小，有利于控制梯度的传播。
在飞桨框架案例如下：
paddle.nn.LayerNorm(normalized_shape, epsilon=1e-05, weight_attr=None, bias_attr=None, name=None);该接口用于构建 LayerNorm 类的一个可调用对象
核心参数的含义：
- normalized_shape (int|list|tuple) – 期望对哪些维度进行变换。如果是一个整数，会将最后一个维度进行规范化。
- epsilon (float, 可选) – 对应ϵ-为了数值稳定加在分母上的值。默认值：1e-05
2.2 应用案例
import paddle
import numpy as np
np.random.seed(123)
x_data = np.random.random(size=(2, 2, 2, 3)).astype('float32')
x = paddle.to_tensor(x_data)
layer_norm = paddle.nn.LayerNorm(x_data.shape[1:])
layer_norm_out = layer_norm(x)
print(layer_norm_out)
# input
# Tensor(shape=[2, 2, 2, 3], dtype=float32, place=CPUPlace, stop_gradient=True,
# [[[[0.69646919, 0.28613934, 0.22685145],
# [0.55131477, 0.71946895, 0.42310646]],
# [[0.98076421, 0.68482971, 0.48093191],
# [0.39211753, 0.34317800, 0.72904968]]],
# [[[0.43857226, 0.05967790, 0.39804426],
# [0.73799539, 0.18249173, 0.17545176]],
# [[0.53155136, 0.53182757, 0.63440096],
# [0.84943181, 0.72445530, 0.61102349]]]])
# output:
# Tensor(shape=[2, 2, 2, 3], dtype=float32, place=CPUPlace, stop_gradient=True,
# [[[[ 0.71878898, -1.20117974, -1.47859287],
# [ 0.03959895, 0.82640684, -0.56029880]],
# [[ 2.04902983, 0.66432685, -0.28972855],
# [-0.70529866, -0.93429095, 0.87123591]]],
# [[[-0.21512909, -1.81323946, -0.38606915],
# [ 1.04778552, -1.29523218, -1.32492554]],
# [[ 0.17704056, 0.17820556, 0.61084229],
# [ 1.51780486, 0.99067575, 0.51224011]]]])对于一般的图片训练集格式为$$(N,C,H,W)$$的数据，在LN变换中，我们对后三个维度进行归一化。因此实例的输入shape就是后三维x_data.shape[1:]。也就是我们固定了以每张图片为单位，对每张图片的所有通道的像素值统一进行了Z-score归一化。
2.3应用场景
层归一化在递归神经网络RNN中的效果是受益最大的，它的表现优于批归一化，特别是在动态长序列和小批量的任务当中 。例如在论文Layer Normalization所提到的以下任务当中：
- 图像与语言的顺序嵌入（Order embedding of images and language）
- 教机器阅读和理解（Teaching machines to read and comprehend）
- Skip-thought向量（Skip-thought vectors）
- 使用DRAW对二值化的MNIST进行建模（Modeling binarized MNIST using DRAW）
- 手写序列生成（Handwriting sequence generation）
- 排列不变MNIST（Permutation invariant MNIST）
但是，研究表明，由于在卷积神经网络中，LN会破坏卷积所学习到的特征，致使模型无法收敛，而对于BN算法，基于不同数据的情况，同一特征归一化得到的数据更不容易损失信息，所以在LN和BN都可以应用的场景，BN的表现通常要更好。
文献：Ba J L , Kiros J R , Hinton G E . Layer Normalization[J]. 2016.
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