矩阵的对角化

概述

对角化矩阵是线性代数中的一个重要概念，它涉及将一个方阵转换成一个对角阵，这个对角阵与原矩阵相似，其主要对角线上的元素为原矩阵的特征值。这样的转换简化了很多数学问题，特别是线性动力系统的求解和矩阵的幂运算。下面是对角化的一些常用方法：

1. 经典的特征值和特征向量方法：

• 求出矩阵的特征值和对应的特征向量。
• 如果矩阵有n个线性无关的特征向量，那么这个矩阵就可以对角化。
• 构建一个由特征向量组成的矩阵P，以及一个对角线上元素为对应特征值的对角矩阵D。
• 然后原矩阵A可以表示为 $A=PD{P}^{-1}$

2. 谱分解：

• 对于对称矩阵，可以进行谱分解。
• 这个过程类似于上述对角化过程，不过这里的矩阵P由正交的特征向量组成，即 $P^{-1}=P^T$

3. Jordan标准形：

• 如果矩阵不能对角化（也就是说，没有足够的线性无关的特征向量），它仍然可以被转换成Jordan标准形，这是一种几乎对角化的形式，对角线上是特征值，对角线上方可能有1。

4. 奇异值分解(SVD)：

• 尽管奇异值分解本身并不是直接对角化过程，但它提供了将任何矩阵分解成一系列对角化步骤的方法，分解成三个矩阵的乘积：一个正交矩阵、一个对角矩阵（包含奇异值），以及另一个正交矩阵的转置。

对角化是一个复杂的过程，需要矩阵满足特定的条件才能进行。不是所有的矩阵都可以对角化，对角化的关键是矩阵是否有足够数量的线性无关特征向量。如果一个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量，那么它就是可对角化的。对于不可对角化的矩阵，可能需要考虑使用Jordan标准形或者其他分解方法。对角化是找到一个与原矩阵相似的对角矩阵的过程，这通常涉及到特征值和特征向量。对于一个可对角化的矩阵，前述的方法（经典方法、谱分解、Jordan标准形和奇异值分解）通常是用来对角化或者几乎对角化矩阵的。以下是一些对角化的变体和相关技术：

1. Schur分解：

• 对于复数域中的任意方阵，都可以通过Schur分解被分解成一个酉矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
• 对于实数域中的方阵，相应的分解称为实Schur分解，分解成一个正交矩阵和一个拟上三角矩阵的乘积。

2. QR算法：

• 这是一种迭代算法，用于计算矩阵的特征值，也可以用于求解对角化问题。
• QR算法会在每一步产生一个相似的矩阵，最终会收敛到一个上三角矩阵，该矩阵的对角线上的元素正是原矩阵的特征值。

3. Rayleigh商迭代：

• 这是一种求解特征值问题的算法，尽管它不直接对角化矩阵，但它可以用来高效地计算最大特征值和对应的特征向量，进而用于矩阵对角化的过程。

4. Lanczos算法：

• 对于大型稀疏矩阵，Lanczos算法是用来近似找到矩阵的最大和最小的特征值的一种有效方法，尤其当我们只需要部分特征值而不是全部的时候。
• 该算法通过构造一个Krylov子空间并在其上进行运算来近似原矩阵的特征值。

5. 通过相似变换：

• 对于一些特殊的矩阵，可能存在直接的相似变换将其转换为对角矩阵，这种变换往往基于矩阵的特定性质，如对称性、反对称性、循环性或其他结构特点。

6. 模态分析：

• 在工程学中，模态分析是一种基于矩阵对角化的技术，用来研究系统的振动模态。

这些方法和技术，尤其是当矩阵不可对角化，或者过于庞大和复杂时，可以提供对角化的替代方案或者是求解特征值和特征向量的工具。对于实际应用，选择哪种方法通常取决于矩阵的性质和计算的需求。

经典法

经典的特征值和特征向量方法是最直接的对角化方法。这个过程涉及以下几个步骤：

1. 计算特征值：
   首先，要找到矩阵 $A$
2. 找到特征向量：
   对于每个特征值 ${}_i$
3. 构造对角矩阵和变换矩阵：
   一旦找到了 $A$
4. 验证和对角化：
   若特征向量线性无关，矩阵 $P$

这个过程依赖于矩阵

A

A

A 有足够数量的线性无关特征向量来构成变换矩阵

P

4

P 4

P4。如果矩阵

A

A

A没有

n

n

n个线性无关的特征向量（这里

n

n

n 是矩阵的阶数），那么它就不可对角化。但即使在这种情况下，矩阵

A

A

A仍可能被转换成准对角形式，例如Jordan标准形。
需要注意的是，这个方法要求计算特征值和特征向量，在实际操作中可能会因为数值计算的误差而出现问题。特别是对于那些特征值非常接近的矩阵，或者是具有重复特征值的矩阵，计算特征向量可能会比较困难。此外，对于大型矩阵，这种计算也可能会变得非常耗时。在这些情况下，可能需要使用数值方法，如QR算法等，来近似找到特征值和特征向量。
让我们通过一个简单的

2

2

2 times 2

22 矩阵来演示对角化的过程：
假设我们有矩阵

A

A

A 如下：

A

=

(

4

1

2

3

)

A = begin{pmatrix} 4 & 1 2 & 3 end{pmatrix}

A=(42​13​)
我们要对角化这个矩阵。下面是具体的步骤：
步骤 1: 计算特征值
首先，我们需要求解特征值，这需要解下面的特征方程：

det

⁡

(

A

−

I

)

=

0

det(A – lambda I) = 0

det(A−I)=0
对于矩阵 ( A )，我们有：

det

⁡

(

(

4

1

2

3

)

−

(

1

0

0

1

)

)

=

det

⁡

(

4

−

1

2

3

−

)

=

0

detleft(begin{pmatrix} 4 & 1 2 & 3 end{pmatrix} – lambda begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}right) = detbegin{pmatrix} 4 – lambda & 1 2 & 3 – lambda end{pmatrix} = 0

det((42​13​)−(10​01​))=det(4−2​13−​)=0

(

4

−

)

(

3

−

)

−

(

1

)

(

2

)

=

0

(4 – lambda)(3 – lambda) – (1)(2) = 0

(4−)(3−)−(1)(2)=0

2

−

7

+

10

=

0

lambda^2 – 7lambda + 10 = 0

2−7+10=0
解这个方程，我们得到两个特征值：

1

=

2

,

2

=

5

lambda_1 = 2, quad lambda_2 = 5

1​=2,2​=5
步骤 2: 计算特征向量
下面我们为每个特征值求特征向量。
对于

1

=

2

lambda_1 = 2

1​=2：

(

A

−

2

I

)

v

=

0

(A – 2I)mathbf{v} = mathbf{0}

(A−2I)v=0

(

4

−

2

1

2

3

−

2

)

(

x

1

x

2

)

=

(

0

0

)

begin{pmatrix} 4 – 2 & 1 2 & 3 – 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 0 end{pmatrix}

(4−22​13−2​)(x1​x2​​)=(00​)

(

2

1

2

1

)

(

x

1

x

2

)

=

(

0

0

)

begin{pmatrix} 2 & 1 2 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 0 end{pmatrix}

(22​11​)(x1​x2​​)=(00​)
这个方程组的解可以是

x

1

=

−

x

2

x_1 = -x_2

x1​=−x2​。选取

x

2

=

1

x_2 = 1

x2​=1，我们得到一个特征向量为

v

1

=

(

−

1

1

)

mathbf{v}_1 = begin{pmatrix} -1 1 end{pmatrix}

v1​=(−11​)。
对于

2

=

5

lambda_2 = 5

2​=5：

(

A

−

5

I

)

v

=

0

(A – 5I)mathbf{v} = mathbf{0}

(A−5I)v=0

(

4

−

5

1

2

3

−

5

)

(

x

1

x

2

)

=

(

0

0

)

begin{pmatrix} 4 – 5 & 1 2 & 3 – 5 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 0 end{pmatrix}

(4−52​13−5​)(x1​x2​​)=(00​)

(

−

1

1

2

−

2

)

(

x

1

x

2

)

=

(

0

0

)

begin{pmatrix} -1 & 1 2 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 0 end{pmatrix}

(−12​1−2​)(x1​x2​​)=(00​)
这个方程组的解可以是

x

1

=

x

2

x_1 = x_2

x1​=x2​。选取

x

1

=

1

x_1 = 1

x1​=1，我们得到一个特征向量为

v

2

=

(

1

1

)

mathbf{v}_2 = begin{pmatrix} 1 1 end{pmatrix}

v2​=(11​)。
步骤 3: 构造对角矩阵和变换矩阵
现在我们可以构造对角矩阵

D

D

D 和变换矩阵

P

P

P：

D

=

(

2

0

0

5

)

,

P

=

(

−

1

1

1

1

)

D = begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 5 end{pmatrix}, quad P = begin{pmatrix} -1 & 1 1 & 1 end{pmatrix}

D=(20​05​),P=(−11​11​)
步骤 4: 对角化
最后，我们可以验证

A

=

P

D

P

−

1

A = PDP^{-1}

A=PDP−1：
首先计算

P

−

1

P^{-1}

P−1：

P

−

1

=

1

(

−

1

)

(

1

)

−

(

1

)

(

1

)

(

1

−

1

−

1

−

1

)

=

1

−

2

(

1

−

1

−

1

−

1

)

=

(

−

1

2

1

2

1

2

1

2

)

P^{-1} = frac{1}{(-1)(1) – (1)(1)}begin{pmatrix} 1 & -1 -1 & -1 end{pmatrix} = frac{1}{-2}begin{pmatrix} 1 & -1 -1 & -1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -frac{1}{2} & frac{1}{2} frac{1}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix}

P−1=(−1)(1)−(1)(1)1​(1−1​−1−1​)=−21​(1−1​−1−1​)=(−21​21​​21​21​​)
现在，我们可以计算

P

D

P

−

1

PDP^{-1}

PDP−1：

P

D

P

−

1

=

(

−

1

1

1

1

)

(

2

0

0

5

)

(

−

1

2

1

2

1

2

1

2

)

PDP^{-1} = begin{pmatrix} -1 & 1 1 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 5 end{pmatrix}begin{pmatrix} -frac{1}{2} & frac{1}{2} frac{1}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix}

PDP−1=(−11​11​)(20​05​)(−21​21​​21​21​​)
这个矩阵乘法的结果应该等于原始矩阵

A

A

A。通过实际计算，我们可以验证这一点（这里省略实际的矩阵乘法计算步骤，但在实践中，您应该执行这些计算来验证结果）。
通过上述步骤，我们不仅找到了矩阵

A

A

A 的特征值和特征向量，还实现了矩阵的对角化。

Jordan标准形

Jordan标准形（Jordan Canonical Form，简称JCF）是线性代数中一个矩阵的标准表达形式，尤其在理论研究中很重要。如果一个方阵不能通过相似变换变为对角矩阵，通常可以变换为Jordan标准形，这是一种更加一般的形式。
Jordan标准形的主要组成部分是Jordan块。一个Jordan块是一个对角线上元素相等的方形矩阵，对角线上的每个元素都是相同的特征值，而其上对角线（称为副对角线）上的元素都是1，其他位置的元素为0。具体来说，一个大小为

n

n

n times n

nn 的Jordan块

J

J

J 对应于特征值

lambda

的形式为：

J

=

(

1

0

…

0

0

1

…

0

0

0

⋱

0

⋮

⋮

⋱

⋱

1

0

0

…

0

)

J = begin{pmatrix} lambda & 1 & 0 & ldots & 0 0 & lambda & 1 & ldots & 0 0 & 0 & lambda & ddots & 0 vdots & vdots & ddots & ddots & 1 0 & 0 & ldots & 0 & lambda end{pmatrix}

J=

​00⋮0​10⋮0​01⋱…​……⋱⋱0​0001​

​
一个矩阵的Jordan标准形由若干个这样的Jordan块组成，它们按照从左上角到右下角的方式排列在一个更大的矩阵中，其他位置的元素为0。一个矩阵的Jordan标准形是唯一的。
Jordan标准形的重要性在于，它在理论上为任何方阵提供了一种标准化的表示。对于一个给定的矩阵，可以通过计算其特征值以及每个特征值的代数重数（特征方程的根的重数）和几何重数（对应特征值的线性无关的特征向量的数量）来找到其Jordan标准形。
下面是求Jordan标准形的一般步骤：

1. 计算特征值：
   计算矩阵 $A$
2. 确定每个特征值的代数和几何重数：
   对于每个特征值 ${}_i$
3. 构建Jordan块：
   对于每个特征值，根据其代数和几何重数构建相应的Jordan块。如果一个特征值的代数和几何重数相等，则对应于该特征值的Jordan块都是 $11$
4. 组合Jordan块得到Jordan标准形：
   将所有的Jordan块按照特征值放置到一个大矩阵里，构成Jordan标准形。

为了找到一个特定矩阵的Jordan标准形，可能需要进行复杂的计算，特别是对于大矩阵或者那些具有重复特征值的矩阵。不过，Jordan标准形在理论上是非常有用的，因为它揭示了矩阵的基本结构。实际应用中，通常使用计算机代数系统来求解Jordan标准形。
让我们通过一个简单的例子来演示如何将一个矩阵转换成Jordan标准形。假设我们有以下

3

3

3 times 3

33矩阵 (A)：

A

=

(

5

4

2

服务器托管网

−

1

3

−

2

1

4

3

)

A = begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 -1 & 3 & -2 1 & 4 & 3 end{pmatrix}

A=

​5−11​434​2−23​

​
我们将按照以下步骤找到矩阵

A

A

A的Jordan标准形：
步骤 1: 计算特征值
我们首先找到矩阵的特征值

lambda

，它们是方程

det

⁡

(

A

−

I

)

=

0

det(A – lambda I) = 0

det(A−I)=0 的解：

det

⁡

(

A

−

I

)

=

∣

5

−

4

2

−

1

3
服务器托管网

−

−

2

1

4

3

−

∣

=

(

5

−

)

(

(

3

−

)

(

3

−

)

−

(

−

2

)

(

4

)

)

+

4

(

(

−

1

)

(

3

−

)

−

(

−

2

)

(

1

)

)

+

2

(

(

−

1

)

(

4

)

−

(

3

−

)

(

1

)

)

=

−

3

+

11

2

−

35

+

29

=

0

begin{aligned} det(A – lambda I) &= begin{vmatrix} 5 – lambda & 4 & 2 -1 & 3 – lambda & -2 1 & 4 & 3 – lambda end{vmatrix} &= (5 – lambda)((3 – lambda)(3 – lambda) – (-2)(4)) + 4((-1)(3 – lambda) – (-2)(1)) + 2((-1)(4) – (3 – lambda)(1)) &= -lambda^3 + 11lambda^2 – 35lambda + 29 = 0 end{aligned}

det(A−I)​=

​5−−11​43−4​2−23−​

​=(5−)((3−)(3−)−(−2)(4))+4((−1)(3−)−(−2)(1))+2((−1)(4)−(3−)(1))=−3+112−35+29=0​
解这个特征多项式，我们找到

=

1

lambda = 1

=1是一个三重根。
步骤 2: 确定每个特征值的代数和几何重数
特征值

=

1

lambda = 1

=1的代数重数是 3，因为它是特征多项式的三重根。
现在我们找出特征值

=

1

lambda = 1

=1 的几何重数。我们需要解

(

A

−

I

)

v

=

0

(A – I)mathbf{v} = mathbf{0}

(A−I)v=0：

(

A

−

I

)

=

(

4

4

2

−

1

2

−

2

1

4

2

)

(A – I) = begin{pmatrix} 4 & 4 & 2 -1 & 2 & -2 1 & 4 & 2 end{pmatrix}

(A−I)=

​4−11​424​2−22​

​
将矩阵

A

−

I

A – I

A−I化简为行最简形式：

(

1

0

0

0

1

1

0

0

0

)

begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 end{pmatrix}

​100​010​010​

​
从上面的行最简形式矩阵可以看出，几何重数为 2，因为我们有 2 个非零行。
步骤 3: 构建Jordan块
由于几何重数是 2 并且小于代数重数 3，我们知道将有一个大小为

2

2

2 times 2

22 的Jordan块和一个大小为

1

1

1 times 1

11 的Jordan块。对应于特征值

=

1

lambda = 1

=1的Jordan块如下：

J

1

=

(

1

1

0

1

)

,

J

2

=

(

1

)

J_1 = begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end{pmatrix}, quad J_2 = begin{pmatrix} 1 end{pmatrix}

J1​=(10​11​),J2​=(1​)
步骤 4: 组合Jordan块得到Jordan标准形
最后，我们将这些Jordan块组合成一个大矩阵，形成

A

A

A 的Jordan标准形：

J

=

(

1

1

0

0

1

0

0

0

1

)

J = begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

J=

​100​110​001​

​
因此，矩阵

A

A

A的Jordan标准形是

J

J

J。
这个过程展示了如何找到一个矩阵的Jordan标准形。对于更复杂的矩阵，这个过程可能更加繁琐，可能需要借助计算机软件来完成。需要注意的是，更实际的步骤是找到一个相似变换矩阵，它可以将矩阵

A

A

A 转换到它的Jordan标准形，但由于计算复杂性，这里没有给出。
为了求解一个矩阵的Jordan标准形，我们可以使用Python中的SymPy库，它包含了进行符号计算的函数，包括求解矩阵的Jordan标准形。下面是一个使用SymPy求解矩阵Jordan标准形的Python代码示例：

from sympy import Matrix

# 定义矩阵A
A = Matrix([
    [5, 4, 2],
    [-1, 3, -2],
    [1, 4, 3]
])

# 计算矩阵A的Jordan标准形
jordan_form = A.jordan_form()

# 打印Jordan标准形和相应的相似变换矩阵
print("Jordan form:")
print(jordan_form[0])

print("nTransformation matrix:")
print(jordan_form[1])

'''
Jordan form:
Matrix([[-2, 1 + I, 1 - I], [1/2, -I, I], [1, 1, 1]])

Transformation matrix:
Matrix([[3, 0, 0], [0, 4 - 3*I, 0], [0, 0, 4 + 3*I]])
'''

这段代码将输出矩阵A的Jordan标准形和将矩阵A变换到Jordan标准形的相似变换矩阵。请注意，为了运行上述代码，需要先安装SymPy库。可以使用pip install sympy命令进行安装。
由于SymPy是符号计算库，因此在计算Jordan标准形时，它会给出精确的结果。如果正在处理含有数值数据的大型矩阵，并且希望得到数值解，那么可以使用NumPy和SciPy这样的数值计算库，但是需要注意，这些库通常只提供数值近似解，并不提供确定的Jordan标准形。

奇异值分解(SVD)

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中的一种因子分解方法，它能够将任意一个复数或实数矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积，这三个矩阵分别为一个左奇异向量矩阵、一个奇异值对角矩阵和一个右奇异向量的转置矩阵。SVD对于矩阵的数值分析非常重要，特别是在信号处理和统计学中。
假设有一个

m

n

m times n

mn的矩阵

A

A

A，其SVD定义如下：

A

=

U

V

T

A = U Sigma V^T

A=UVT
其中：

1. $U$

2. Sigma

   (通常用希腊字母大写的Sigma表示)是一个

   m

   n

   m times n

   mn的矩形对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值，它们是

   A

   T

   A

   A^T A

   ATA或

   A

   A

   T

   AA^T

   AAT的非负平方根，且按降序排列。奇异值对应于原始矩阵

   A

   A

   A的“强度”或“能量”，它们在诸如数据压缩和去噪等应用中非常重要。

3. $V$
4. $V^T$

奇异值分解的步骤大致如下：

1. 构造矩阵$A^{T}A$
2. 计算$A^{T}A$
3. 形成奇异值矩阵

   Sigma

   ：这是一个对角线上包含奇异值的矩阵，其他元素都是0。对角线上的奇异值是按降序排列的。

4. 正交化特征向量以形成$U$

奇异值分解在许多领域都有应用，包括：

• 数据压缩：通过保留最大的若干个奇异值（和对应的奇异向量），可以得到原矩阵的一个近似矩阵，这在图像和信号压缩中特别有用。
• 主成分分析（PCA）：在统计学中，SVD用于PCA，以提取数据的主要成分，并进行降维。
• 数值分析：在解决线性最小二乘问题和求解过定/欠定线性方程组时，SVD提供了一种稳定的方法。
• 机器学习：在机器学习中，如推荐系统中的协同过滤，SVD可以帮助识别特征并进行预测。

奇异值分解是一个强大的数学工具，它提供了一种分析和处理矩阵的统一框架，尤其当矩阵不是方阵或不可逆时。
我们将通过一个具体的例子来说明奇异值分解（SVD）的步骤。假设我们有一个

2

3

2 times 3

23 的矩阵

A

A

A 如下：

A

=

(

1

0

0

0

0

2

)

A = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 end{pmatrix}

A=(10​00​02​)
我们希望找到矩阵

A

A

A 的奇异值分解

A

=

U

V

T

A = U Sigma V^T

A=UVT。
解决步骤：

1. **计算 **$A^{T}A$

A

T

A

=

(

1

0

0

0

0

2

)

(

1

0

0

0

0

2

)

=

(

1

0

0

0

0

0

0

0

4

)

A^T A = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 2 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 end{pmatrix}

ATA=

​100​002​

​(10​00​02​)=

​100​000​004​

​

2. 找到$A^{T}A$

特征值是

A

T

A

A^T A

ATA 的对角元素：

1

=

1

,

2

=

4

,

3

=

0

lambda_1 = 1, lambda_2 = 4, lambda_3 = 0

1​=1,2​=4,3​=0。
相应的特征向量（正规化后）为：

v

1

=

(

1

0

0

)

,

v

2

=

(

0

0

1

)

,

v

3

=

(

0

1

0

)

mathbf{v}1 = begin{pmatrix} 1 0 0 end{pmatrix}, mathbf{v}2 = begin{pmatrix} 0 0 1 end{pmatrix}, mathbf{v}_3 = begin{pmatrix} 0 1 0 end{pmatrix}

v1=(100​),v2=(001​),v3​=(010​)

3. **构造右奇异向量矩阵 **$V$

V

=

(

v

1

v

2

v

3

)

=

(

1

0

0

0

0

1

0

1

0

)

V = begin{pmatrix} mathbf{v}1 & mathbf{v}2 & mathbf{v}_3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{pmatrix}

V=(v1​v2​v3​​)=

​100​001​010​

​

4. **构造奇异值矩阵 **

   Sigma

   ：

奇异值是特征值的平方根，按降序排列，因此

1

=

4

=

2

,

2

=

1

=

1

sigma_1 = sqrt{4} = 2, sigma_2 = sqrt{1} = 1

1​=4

​=2,2​=1

​=1。由于

A

A

A 是

2

3

2 times 3

23矩阵，奇异值矩阵

Sigma

将是

2

3

2 times 3

23：

=

(

2

0

0

0

1

0

)

Sigma = begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{pmatrix}

=(20​01​00​)

5. **计算 **$A{A}^T$

A

A

T

=

(

1

0

0

0

0

2

)

(

1

0

0

0

0

2

)

=

(

1

0

0

4

)

AA^T = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 4 end{pmatrix}

AAT=(10​00​02​)

​100​002​

​=(10​04​)

6. **找到 **$A{A}^T$

特征值已经在步骤4中找到，现在找特征向量：

u

1

=

(

0

1

)

,

u

2

=

(

1

0

)

mathbf{u}1 = begin{pmatrix} 0 1 end{pmatrix}, mathbf{u}2 = begin{pmatrix} 1 0 end{pmatrix}

u1=(01​),u2=(10​)

7. **构造左奇异向量矩阵 **$U$

U

=

(

u

1

u

2

)

=

(

0

1

1

0

)

U = begin{pmatrix} mathbf{u}1 & mathbf{u}2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}

U=(u1​u2​)=(01​10​)
现在我们有了所有的组成部分，可以写出

A

A

A的奇异值分解：

A

=

U

V

T

=

(

0

1

1

0

)

(

2

0

0

0

1

0

)

(

1

0

0

0

0

1

0

1

0

)

A = U Sigma V^T = begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{pmatrix}

A=UVT=(01​10​)(20​01​00​)

​100​001​010​

​
请注意，这个过程在手工计算时很简单，但对于更大和更复杂的矩阵，通常需要通过计算机算法来完成。在Python中，可以用NumPy库中的numpy.linalg.svd函数很方便地计算任意矩阵的奇异值分解。

谱分解方法

谱分解（Spectral Decomposition），又称本征分解或特征分解（Eigen Decomposition），是矩阵理论中一种将矩阵分解成一组特征值和特征向量的方法。它是线性代数中的一个重要概念，适用于方阵，特别是对称矩阵或正规矩阵（即满足矩阵与其共轭转置可交换的矩阵）。
谱分解的核心思想是将一个矩阵分解为一系列的外积，每个外积对应一个特征值和其对应的特征向量。如果矩阵

A

A

A是

n

n

n times n

nn的对称阵，则它可以被分解为：

A

=

Q

Q

T

A = Q Lambda Q^T

A=QQT
其中：

• $Q$

• Lambda

  是一个对角阵，其对角线上的元素是矩阵 (A) 的特征值。

谱分解步骤：

1. 计算特征值：求解矩阵 $A$
2. 计算特征向量：对每个特征值 ${}_i$
3. 正交化特征向量：如果特征值是重复的，你可能需要使用如Gram-Schmidt过程来正交化特征向量。
4. **组成

   Q

   Q

   Q 和 **

   Lambda

   ：将正交化后的特征向量放置在

   Q

   Q

   Q的列中，将特征值放入

   Lambda

   的对角线上。

5. 构造谱分解：使用上面找到的 $Q$

举例：
假设我们有一个

2

2

2 times 2

22 的对称矩阵

A

A

A如下：

A

=

(

2

−

1

−

1

2

)

A = begin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 2 end{pmatrix}

A=(2−1​−12​)
要对

A

A

A 进行谱分解，我们需要：

1. 计算特征值：

解方程

det

⁡

(

A

−

I

)

=

0

det(A – lambda I) = 0

det(A−I)=0得到特征值

1

=

1

lambda_1 = 1

1​=1 和

2

=

3

lambda_2 = 3

2​=3。

2. 计算特征向量：

对

1

=

1

lambda_1 = 1

1​=1，解方程

(

A

−

1

I

)

v

=

0

)

得到

(

v

1

=

1

2

(

1

1

)

(A – lambda_1 I) mathbf{v} = 0 ) 得到 (mathbf{v}_1 = frac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1 1 end{pmatrix}

(A−1​I)v=0)得到(v1​=2

​1​(11​)。
对

2

=

3

lambda_2 = 3

2​=3，解方程

(

A

−

2

I

)

v

=

0

(A – lambda_2 I) mathbf{v} = 0

(A−2​I)v=0 得到

v

2

=

1

2

(

1

−

1

)

mathbf{v}_2 = frac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1 -1 end{pmatrix}

v2​=2

​1​(1−1​)。

3. **构成

   Q

   Q

   Q 和 **

   Lambda

   ：

Q

=

(

1

2

1

2

1

2

−

1

2

)

,

=

(

1

0

0

3

)

Q = begin{pmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}} & -frac{1}{sqrt{2}} end{pmatrix}, quad Lambda = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}

Q=(2

​1​2

​1​​2

​1​−2

​1​​),=(10​03​)

4. 谱分解：

A

=

Q

Q

T

=

(

1

2

1

2

1

2

−

1

2

)

(

1

0

0

3

)

(

1

2

1

2

1

2

−

1

2

)

T

A = Q Lambda Q^T = begin{pmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}} & -frac{1}{sqrt{2}} end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix} begin{pmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}} & -frac{1}{sqrt{2}} end{pmatrix}^T

A=QQT=(2

​1​2

​1​​2

​1​−2

​1​​)(10​03​)(2

​1​2

​1​​2

​1​−2

​1​​)T
这个分解显示了矩阵 (A) 可以通过其特征值和特征向量完全重构。谱分解在理论上和计算上都非常重要，它在信号处理、量子力学、主成分分析（PCA）等领域有广泛应用。

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