文章目录
- 1. 矩阵的逆矩阵
-
- 1.1 AB的逆矩阵
- 1.2 转置矩阵
- 2. 2X2矩阵A消元
- 3. 3X3矩阵A消元
本文主要目的是为了通过矩阵乘法实现矩阵A的分解。
1. 矩阵的逆矩阵
1.1 AB的逆矩阵
- 假设A,B矩阵都可逆
A
(
B
B
−
1
)
A
−
1
=
I
(1)
A(BB^{-1})A^{-1}=Itag{1}
A(BB−1)A−1=I(1) - 可得如下
(
A
B
)
(
B
−
1
A
−
1
)
=
I
(2)
(AB)(B^{-1}A^{-1})=Itag{2}
(AB)(B−1A−1)=I(2) - 所以当AB矩阵单独可逆下：
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
(3)
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}tag{3}
(AB)−1=B−1A−1(3)
1.2 转置矩阵
- 由于矩阵A满足如下条件
A
A
−
1
=
I
(4)
AA^{-1}=Itag{4}
AA−1=I(4) - 对等式两边进行转置如下：
(
A
−
1
)
T
A
T
=
I
T
=
I
(5)
(A^{-1})^TA^T=I^T=Itag{5}
(A−1)TAT=IT=I(5) - 由此可得如下：
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
(6)
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}tag{6}
(AT)−1=(A−1)T(6)
2. 2X2矩阵A消元
假设矩阵A经过行与行之间的计算，可以得到上三角矩阵U ，可以简化成如下,
E
21
=
[
1
0
−
4
1
]
;
A
=
[
2
1
8
7
]
;
U
=
[
2
1
0
3
]
;
(7)
E_{21}=begin{bmatrix}1&0\-4&1end{bmatrix};A=begin{bmatrix}2&1\8&7end{bmatrix};U=begin{bmatrix}2&1\0&3end{bmatrix};tag{7}
E21=
1−401
;A=
2817
;U=
2013
;(7)
E
21
A
=
U
(8)
E_{21}A=Utag{8}
E21A=U(8)
[
1
0
−
4
1
]
[
2
1
8
7
]
=
[
2
1
0
3
]
(9)
begin{bmatrix}1&0\-4&1end{bmatrix}begin{bmatrix}2&1\8&7end{bmatrix}=begin{bmatrix}2&1\0&3end{bmatrix}tag{9}
1−401
2817
=
2013
(9)
- 可以将上式改成如下
A
=
(
E
21
)
−
1
U
=
L
U
(10)
A=(E_{21})^{-1}U=LUtag{10}
A=(E21)−1U=LU(10) -
(
E
21
)
−
1
(E_{21})^{-1}
(E21)−1可得如下：
(
E
21
)
−
1
=
[
1
0
4
1
]
(11)
(E_{21})^{-1}=begin{bmatrix}1&0\4&1end{bmatrix}tag{11}
(E21)−1=
1401
(11) - 将U进行分解可得
U
=
[
2
1
0
3
]
=
[
2
0
0
3
]
[
1
1
2
0
1
]
(12)
U=begin{bmatrix}2&1\0&3end{bmatrix}=begin{bmatrix}2&0\0&3end{bmatrix}begin{bmatrix}1&frac{1}{2}\0&1end{bmatrix}tag{12}
U=
2013
=
2003
10211
(12) - 综上所述可得如下：
A
=
[
2
1
8
7
]
;
L
=
[
1
0
4
1
]
;
D
=
[
2
0
0
3
]
;
U
=
[
1
1
2
0
1
]
(13)
A=begin{bmatrix}2&1\8&7end{bmatrix};L=begin{bmatrix}1&0\4&1end{bmatrix};D=begin{bmatrix}2&0\0&3end{bmatrix};U=begin{bmatrix}1&frac{1}{2}\0&1end{bmatrix}tag{13}
A=
2817
;L=
1401
;D=
2003
;U=
10211
(13) -
A
=
L
D
U
A=LDU
A=LDU
[
2
服务器托管网 1
8
7
]
=
[
1
0
4
1
]
[
服务器托管网2
0
0
3
]
[
1
1
2
0
1
]
(14)
begin{bmatrix}2&1\8&7end{bmatrix}=begin{bmatrix}1&0\4&1end{bmatrix}begin{bmatrix}2&0\0&3end{bmatrix}begin{bmatrix}1&frac{1}{2}\0&1end{bmatrix}tag{14}
2817
=
1401
2003
10211
(14)
3. 3X3矩阵A消元
- 同理假设有一个3X3矩阵，我们可以经过行变换来消元。
E
32
E
31
E
21
A
=
U
(15)
E_{32}E_{31}E_{21}A=Utag{15}
E32E31E21A=U(15) - 求逆矩阵如下：
L
=
(
E
21
)
−
1
(
E
31
)
−
1
(
E
32
)
−
1
(16)
L=(E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}tag{16}
L=(E21)−1(E31)−1(E32)−1(16)
A
=
(
E
21
)
−
1
(
E
31
)
−
1
(
E
32
)
−
1
U
(17)
A=(E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}Utag{17}
A=(E21)−1(E31)−1(E32)−1U(17) - 假设如下矩阵：
E
21
=
[
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
]
;
E
31
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
;
E
32
=
[
1
0
0
0
1
0
0
−
5
1
]
;
(18)
E_{21}=begin{bmatrix}1&0&0\-2&1&0\0&0&1end{bmatrix};E_{31}=begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix};E_{32}=begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&-5&1end{bmatrix};tag{18}
E21=
1−20010001
;E31=
100010001
;E32=
10001−5001
;(18)
E
3221
=
E
32
E
21
=
[
1
0
0
−
2
1
0
10
−
5
1
]
(19)
E_{3221}=E_{32}E_{21}=begin{bmatrix}1&0&0\-2&1&0\10&-5&1end{bmatrix}tag{19}
E3221=E32E21=
1−21001−5001
(19)
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