定义1-4。1在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成表,就是命题公式的真值表。
现举例说明如下:
例题1 构造┓p∨q的真值表。
解
表1-4.1
p |
q |
┓p |
┓p∨q |
t |
t |
f |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
t |
例题2 给出(p∧q)∧┓p的真值表。
解
表1-4.2
p |
q |
p∧q |
┓p |
(p∧q)∧┓p |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
f |
t |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
f |
例题3 给出(p∧q)∨(┓p∧┓q)的真值表。
解
表1-4.3
p |
q |
┓p |
┓q |
p∧q |
┓p∧┓q |
(p∧q)∨(┓p∧┓q) |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
f |
t |
t |
例题4给出┓(p∧q)(┓p∨┓q)的真值表。
解
表1-4.4
p |
q |
p∧q |
┓(p∧q) |
┓p |
┓q |
┓p∨┓q |
┓(p∧q)(┓p∨┓q) |
t |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
t |
t |
t |
f |
t |
f |
t |
t |
f |
t |
t |
f |
f |
f |
t |
t |
t |
t |
t |
由表1-4.4(表1-4.2)可以看出,有一类公式不论命题变元作何种指派,其真值永为真(假),我们把这类公式记为t(f)。
在真值表中,命题公式真值的取值数目,决定于分量的个数。例如,由2个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值,由8个命题变元组成的命题公式共有八种可能的真值。一般说来,n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
从真值表中可以看到,有些命题公式在分量的不同指派下,其对应的真值与另一命题公式完全相同,如┓p∨q与p→q的对应真值相同,如表1-4.5所示。
表1-4.5
p |
q |
┓p∨q |
p→q |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
f |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
t |
同理(p∧q)∨(┓p∧┓q)与pq对应的真值相同,如表1-4.6所表示。
表1-4.6
p |
q |
pq |
(p∧q)∨(┓p∧┓q) |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
定义1-4.2给定两个命题公式a和b,设p1,p2,…,pn为所有出现于a和b中的原子变元,若给p1,p2,…,pn任一组真值指派,a和b的真值都相同,则称a和b是等价的或逻辑相等。记作ab.
例题5 证明pq(p→q)∧(q→p)
证明列出真值表
表1-4.7
p |
q |
p→q |
q→p |
pq |
(p→q)∧(q→p) |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
t |
t |
由表1-4.7可知pq与(p→q)∧(q→p)真值相同,命题得证。
表1-4.8列出的命题定律,都可以用真值表予以验证。
表1-4。8
对合律 |
┓┓pp |
1 |
冥等律 |
p∨pp, p∧pp |
2 |
结合律 |
(p∨q)∨rp∨(q∨p) (p∧q)∧rp∧(q∧p) |
3 |
交换律 |
p∨qq∨p p∧qq∧p |
4 |
分配律 |
p∨(q∧r) (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r) |
5 |
吸收律 |
p∨(p∧q) p p∧(p∨q) p |
6 |
德摩托律 |
┓(p∨q) ┓p∧┓q ┓(p∧q) ┓p∨┓q |
7 |
同一律 |
p∨fp, p∧tp |
8 |
零律 |
p∨tt, p∧ff |
9 |
否定律 |
p∨┓pt, p∧┓pf |
10 |
例题6验证吸收律 p∨(p∧q)p
p∧(p∨q)p
证明列出真值表
表1-4.9
p |
q |
(p∧q) |
p∨(p∧q) |
(p∨q) |
p∧(p∨q) |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
t |
|
f |
t |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
由表1-4.9可知吸收律成立。
在一个命题公式中,如果用公式置换命题的某个部分,一般地将会产生某种新的公式,例如q→(p∨(p∧q))中以(┓p→q)取代(p∧q),则q→(p∨(┓p→q))就与原式不同。为了保证取代后的公式与原始公式是等价的,故需对置换作出一些规定。
定义1-4.3如果x是合式公式a的一部分,且x本身也是一个合式公式,则称x为公式a的子公式。
定理1-4.1设x是合式公式a的子公式,若xy,如果将a中的x用y来置换,所得到公式b与公式a等价服务器托管网,即ab。
证明因为在相应变元的任一种指派情况下,x与y的真值相同,故以y取代x后,公式b与公式a在相应的指派情况下,其真值亦必相同,故ab。
满足定理1-4。1条件的置换称为等价置换(等价代换)。
例题7 证明q→(p∨(p∧q))q→p
证明设a:q→(p∨(p∧q))
因为 p∨(p∧q) p
故 b:q→p,即ab
对ab亦可用表1-4.10予以验证:
表1-4.10
p |
q |
p∧q |
p∨(p∧q) |
q→(p∨(p∧q)) |
q→p |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
t |
t |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
我们有了最基本的命题公式的等价关系,再利用定理1-4.1就可以推理一些更为复杂的命题等价公式。现举例说明如下:
例题8 证明(p∧q)∨(p∧┓q) p
证明(p∧q)∨(p∧┓q) p∧(q∨┓q)p∧tp
例题9 证明p→(q→r)q→(p→r)┓r→(q→┓p)
证明p→(q→r)┓p∨(┓q∨r) ┓q∨(┓p∨r) q→(p→r)
又p→(q→r)┓p∨(┓q∨r) r∨(┓q∨┓p) ┓r→(q→┓p)
例题10证明((p∧q)∧┓(┓p∧(┓q∨┓r)))∨(┓p∧┓q)∨(┓p∨┓r) t
证明原式左边((p∧q)∧┓(┓p∧(q∨r)))
∨(p∧q)∨┓(p∧r)
((p∧q)∧(p∨(q∨r))∨┓(p∧q)∨┓(p∧r)
((p∧q)∧(p∨q)∧(p∧r)))∨┓((p∧q)∧(p∧r))
((p∧q)∧(p∧r))∨┓((p∧q)∧(p∧r))
t
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