算法总结8 前缀和
- 一、前缀和的概念
-
- 1.1、什么是前缀和?
- 1.2、常见类型
-
- 1.2.1、求数组前i个数之和
- 1.2.2、求数组的区间和
- 二、经典例题
-
-
- 2.1、求数组前i个数之和
-
- 560. 和为 K 的子数组 – 前缀和+哈希表
- 525. 连续数组
- 2.2、求数组的区间和
-
- 303. 区域和检索 – 数组不可变
- 643. 子数组最大平均数 I – (隐藏的前缀和)
- 304. 二维区域和检索 – 矩阵不可变 – (二维区间)
-
- 参考
一、前缀和的概念
1.1、什么是前缀和?
前缀和,英文是 preSum。是面试中经常考到的题目,并且难度也不大,我们直接从题目入手开始讲解。
首先我们看看一道很经典的简单题 1480. 一维数组的动态和,在没接触过前缀和的时候,我们对这道题的解法,很可能采用双重循环:
class Solution:
def runningSum(self, nums: List[int]) -> List[int]:
preSum = []
# 选取每一个索引,当做下一层循环的结尾
for i in range(len(nums)):
# 用来记录总和
su_m = 0
# 从0开始到i求和
for j in range(i+1):
su_m+=nums[j]
# 添加到结果
preSum.append(su_m)
return preSum
又或者我们取消内层循环,直接sum对切片求和与存储:
class Solution:
def runningSum(self, nums: List[int]) -> List[int]:
preSum = []
# 选取每一个索引,当做下一层循环的结尾
for i in range(len(nums)):
# 用sum函数对切片求和
preSum.append(sum(nums[:i+1]))
return preSum
这种直接求和是很简单直接的,但是它的效率是非常低的,因为我们没有利用到一个条件,也就是值之间的关系,即preSum的第i个值取决于第i-1个值:
输入:nums = [1,2,3,4]
输出:[1,3,6,10]
解释:动态和计算过程为 [1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4] 。
1 这个值的索引为第一个,前面没有值,直接等于当前nums的1
1+2 = 前一个1 加上 当前的nums上的2
1+2+3 = 前一个1+2 加上 当前nums上的3
1+2+3+4 = 前一个1+2+3 加上 当前nums上的4
有了这个规律我们可以很轻易的写出:
class Solution:
def runningSum(self, nums: List[int]) -> List[int]:
for i in range(1, len(nums)):
nums[i] = nums[i]+nums[i-1]
return nums
我们可以写的更加规范一点:
class Solution:
def runningSum(self, nums: List[int]) -> List[int]:
# 使用新数组去存储结果
preSum = []
# 把索引0加入其中
for i in range(len(nums)):
if i==0:
preSum.append(nums[i)
else:
nums[i] = nums[i]+preSum[i-1]
return nums
如果理解了上面的内容,那么我告诉你,preSum 数组其实就是「前缀和」。
「前缀和」 是从 nums 数组中的第 0 位置开始累加,到第 i 位置的累加结果,我们常把这个结果保存到数组 preSum 中,记为 preSum[i]。
在前面计算「前缀和」的代码中,计算公式为 preSum[i] = preSum[i – 1] + nums[i] ,为了防止当 i = 0 的时候数组越界,所以加了个 if (i == 0) 的判断,即 i == 0 时让 preSum[i] = nums[i]。
在其他常见的写法中,为了省去这个 if 判断,我们常常把「前缀和」数组 preSum 的长度定义为 原数组的长度 + 1。preSum 的第 0 个位置,相当于一个占位符,置为 0。
那么就可以把 preSum 的公式统一为 preSum[i] = preSum[i – 1] + nums[i – 1],此时的preSum[i]表示nums中 i 元素左边所有元素之和(不包含当前元素 i)。
下面以 [1, 12, -5, -6, 50, 3] 为例,用动图讲解一下如何求 preSum:
上图表示:
preSum[0] = 0;
preSum[1] = preSum[0] + nums[0];
preSum[2] = preSum[1] + nums[1];
…
1.2、常见类型
一般分为两种类型:
类型一 | 类型二 |
---|---|
求数组前 i 个数之和 | 求数组的区间和 |
1.2.1、求数组前i个数之和
求数组前 i 个数之和,是「前缀和」数组的定义,所以是最基本的用法。
举例而言:
- 如果要求 nums 数组中的前2个数的和,即sum(nums[0], nums[1]),直接返回 preSum[2]即可
- 同理,如果要求 nums 数组中所有元素的和,即sum(nums[0], …, nums[length-1]),直接返回preSum[length]即可
1.2.2、求数组的区间和
利用 preSum 数组,可以在 O(1) 的时间内快速求出 nums 任意区间 [i,j] (两端都包含) 内的所有元素之和。
公式为:sum(i,j) = preSum[j+1] – preSum[i]
什么原理呢?其实就是消除公共部分,即0-i-1部分的和,那么就能得到 i-j 部分的区间和。
注意上面的式子,使用的是 preSum[j+1] 和preSum[i]:
- preSum[j+1] 表示的是 nums 数组中 [0, j] 的所有数字之和(包含0和j)
- preSum[i] 表示的是 nums 数组中[0, i-1]的所有数字之和(包含0和i-1)
- 两者相减时,结果留下了 nums 数组中 [i, j] 的所有数字之和
二、经典例题
2.1、求数组前i个数之和
560. 和为 K 的子数组 – 前缀和+哈希表
560. 和为 K 的子数组
from collections import defaultdict
class Solution:
def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
preSum = defaultdict(int)
preSum[0]=1
presum = 0
count=0
for i in range(len(nums)):
presum+=nums[i]
count+=preSum[presum-k]
preSum[presum]+=1
return count
525. 连续数组
525. 连续数组
我们以nums的前缀和来构造一个hashmap,并且该hashmap不能改变,只能增加(保留第一次出现的index,第二次出现则做ans的max保留),因为它是记录第一次出现的位置,当第二次出现key时则做相应索引的减法,即为结果长度,该长度中0和1数量相同,举例说明:
0 1 0 0 1 0
-1 0 -1 -2 -1
index | nums | pre_sum | hashmap{0:-1} | ans |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | -1 | hashmap找不到-1,增加:{0:-1, -1:0} | 0 |
1 | 1 | 0 | hashmap能找到0,求ans | 1-(-1)=2 |
2 | 0 | -1 | hashmap能找到-1,求ans | 2-0=2 |
3 | 0 | -2 | hashmap找不到-2,增加:{0:-1, -1:0, -2:3} | 2(保留最大值) |
4 | 1 | -1 | hashmap能找到-1,求ans | 4-0=4 |
5 | 0 | -2 | hashmap能找到-2,求ans | 5-3=2, 但4(保留最大值) |
思考:为什么第二次出现的值,即便不是0,而是-1或-2,也都能计算ans?
第二次出现说明这两个值之间的累加和为0,也就是0和1数量相等,我们需要关注的是两个前缀和的差值之间的累加和是否为0,而不是只看前缀和的值,这是无意义的,因为前缀和只能代表该值前面所有值累加的特征值。
class Solution:
def findMaxLength(self, nums: List[int]) -> int:
# 前缀和字典: key为1的数量和0的数量的差值,value为对应坐标
hashmap = {0:-1}
# 当前1的数量和0的数量的差值
ans = pre_sum = 0
for i,num in enumerate(nums):
# 每多一个1,差值+1,每多一个0,差值-1
pre_sum+=1 if num else -1
# 如果存在1和0的数量差值相等的地方,那么说明后者到前者之前1和0的数量相等!
if pre_sum in hashmap:
ans = max(ans, i-hashmap[pre_sum])
# 在hashmap里面就进行比较,不在则存储
else:
hashmap[pre_sum]=i
return ans
2.2、求数组的区间和
303. 区域和检索 – 数组不可变
通过 1.2.2、求数组的区间和 的内容可以秒杀这道题。
class NumArray:
def __init__(self, nums: List[int]):
self.preSum = [0]
for i in range(len(nums)):
self.preSum.append(self.preSum[i]+nums[i])
def sumRange(self, left: int, right: int) -> int:
return self.preSum[right+1]-self.preSum[left]
# Your NumArray object will be instantiated and called as such:
# obj = NumArray(nums)
# param_1 = obj.sumRange(left,right)
643. 子数组最大平均数 I – (隐藏的前缀和)
643. 子数组最大平均数 I
这道题可以用前缀和解,也可以用固定大小为k的滑动窗口来解决
解法1:前缀和:
要求大小为k的窗口内的最大平均数,可以求[i, i+k]区间的最大和再除以k,即要求(preSum[i+k]- preSum[i])/k 的最大值。总之题目要求 区间和 的时候,那么就可以考虑使用 前缀和。
class Solution:
def findMaxAverage(self, nums: List[int], k: int) -> float:
preSum = [0]
for i in range(len(nums)):
preSum.append(preSum[i]+nums[i])
max_avg = -float('inf')
for i in range(len(nums)-k+1):
max_avg = max(max_avg, (preSum[i+k]-preSum[i])/k)
return max_avg
解法二:滑动窗口
滑动窗口类型的题解思路可以看看这篇文章:算法刷题总结 (七) 双指针
class Solution:
def findMaxAverage(self, nums: List[int], k: int) -> float:
left,right = 0, k-1
avg = sum(nums[left:right+1])
max_avg = avg
for i in range(k, len(nums)):
avg+=nums[i]-nums[i-k]
max_avg = max(avg, max_avg)
return max_avg/k
304. 二维区域和检索 – 矩阵不可变 – (二维区间)
304. 二维区域和检索 – 矩阵不可变
当「前缀和」拓展到二维区间时,可以用下面的思路求解:
(1)步骤一:求 preSum
我们定义
p
r
e
S
u
m
[
i
+
1
]
[
j
+
1
]
preSum[i+1][j+1]
preSum[i+1][j+1] ,即同前面,row与col都增加一位。第一行和第一列为占位符,值为0。从
[
1
]
[
1
]
[1][1]
[1][1]到
[
r
o
w
+
1
]
[
c
o
l
+
1
]
[row+1][col+1]
[row+1][col+1]表示矩阵
m
a
t
r
i
x
[
0
]
[
0
]
matrix[0][0]
matrix[0][0]到
[
r
o
w
]
[
c
o
l
]
[row][col]
[row][col]的前缀面积和。
递推公式为:
p
r
e
S
u
m
[
i
+
1
]
[
j
+
1
]
=
p
r
e
S
u
m
[
i
]
[
j
+
1
]
+
p
r
e
S
u
m
[
i
+
1
]
[
j
]
−
p
r
e
S
u
m
[
i
]
[
j
]
+
m
a
t
r
i
x
[
i
]
[
j
]
preSum[i+1][j+1]=preSum[i][j+1]+preSum[i+1][j]-preSum[i][j]+matrix[i][j]
preSum[i+1][j+1]=preSum[i][j+1]+preSum[i+1][j]−preSum[i][j]+matrix[i][j]
可以用下图帮助理解:
S
(
O
,
D
)
=
S
(
O
,
C
)
+
S
(
O
,
B
)
−
S
(
O
,
A
)
+
D
S(O,D)=S(O,C)+S(O,B)-S(O,A)+D
S(O,D)=S(O,C)+S(O,B)−S(O,A)+D
减去
S
(
O
,
A
)
S(O,A)
S(O,A)的原因是
S
(
O
,
C
)
S(O,C)
S(O,C)和
S
(
O
,
B
)
S(O,B)
S(O,B)中都有
S
(
O
,
A
)
S(O,A)
S(O,A),即加了两次
S
(
O
,
A
)
S(O,A)
S(O,A),所以需要减去一次
S
(
O
,
A
)
S(O,A)
S(O,A)。
(2)步骤二:根据 preSum 求子矩阵面积
前面已经跟你求出了数组从
[
0
,
0
]
[0, 0]
[0,0]位置到
[
i
,
j
]
[i, j]
[i,j]位置的
p
r
e
S
u
m
preSum
preSum。
如果要求
[
r
o
w
1
,
c
o
l
1
]
[row1, col1]
[row1,col1] 到
[
r
o
w
2
,
c
o
l
2
]
[row2, col2]
[row2,col2]的子矩阵的面积的话,用 preSum计算时,对应了以下的递推公式:
p
r
e
S
u
m
[
r
o
w
2
+
1
]
[
c
o
l
2
+
1
]
−
p
r
e
S
u
m
[
r
o
w
2
+
1
]
[
c
o
l
1
]
−
p
r
e
S
u
m
[
r
o
w
1
]
[
c
o
l
2
+
1
]
+
p
r
e
S
u
m
[
r
o
w
1
]
[
c
o
l
1
]
preSum[row2+1][col2+1]-preSum[row2+1][col1]-preSum[row1][col2+1]+preSum[row1][col1]
preSum[row2+1][col2+1]−preSum[row2+1][col1]−preSum[row1][col2+1]+preSum[row1][col1]。
同样利用一张图来说明:
S
(
A
,
D
)
=
S
(
O
,
D
)
−
S
(
O
,
E
)
−
S
(
O
,
F
)
+
S
(
O
,
G
)
S(A,D)=S(O,D)-S(O,E)-S(O,F)+S(O,G)
S(A,D)=S(O,D)−S(O,E)−S(O,F)+S(O,G)
加上子矩阵
S
(
O
,
G
)
S(O,G)
S(O,G)面积的原因是
S
(
O
,
E
)
S(O,E)
S(O,E)和
S
(
O
,
F
)
S(O,F)
S(O,F)中都有
S
(
O
,
G
)
S(O,G)
S(O,G),即减了两次
S
(
O
,
G
)
S(O,G)
S(O,G),所以需要加上一次
S
(
O
,
G
)
S(O,G)
S(O,G)。
整理清楚后,整体的代码如下:
class NumMatrix:
def __init__(self, matrix: List[List[int]]):
row, col = len(matrix), len(matrix[0])
self.preSum = [[0]*(col+1) for _ in range(row+1)]
for i in range(row):
for j in range(col):
self.preSum[i+1][j+1] = self.preSum[i][j+1]+self.preSum[i+1][j]-self.preSum[i][j]+matrix[i][j]
def sumRegion(self, row1: int, col1: int, row2: int, col2: int) -> int:
return self.preSum[row2+1][col2+1]-self.preSum[row2+1][col1]-self.preSum[row1][col2+1]+self.preSum[row1][col1]
# Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
# obj = NumMatrix(matrix)
# param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2)
参考
面试题|秋招必会的算法题——前缀和
525.连续数组 前缀和+哈希表 速解!
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