文章目录

运算相关
- 逆和转置
- 行列式
- 矩阵的迹
- 矩阵乘法
- 矩阵的积
几个重要的等价命题
向量空间
- 欧氏空间
- 列空间
- 子空间
- 张成
- 张集
- 线性无关
- 维数
- 基
- - 基变换
- 转移矩阵
- 零空间
- 简化-行阶梯型矩阵（rref）
- 矩阵的秩（解方程
线性变换
- 表示矩阵
- 相似矩阵
- 矩阵的迹
正交
- 正交向量
- 正交补
- 向量投影
- 投影矩阵
- 正交矩阵
特征值和特征向量
- 特征值
- 特征向量
- 矩阵的对角化

（因为要小测了，所以先从后面开始写，之后再补前面的）

运算相关

逆和转置

${(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T (AT)−1=(A−1)T$
$(AB)^{T}=B^TA^T (AB)T=BTAT$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1$
$A^{-1}=frac{adjA}{det(A)} A−1=det(A)adjA$

行列式

$det(A^T)=det(A) det(AT)=det(A)$
$det(A^{-1})det(A)=1 det(A−1)det(A)=1$
$det(adjA)={det(A)}^{n-1} det(adjA)=det(A)n−1$

矩阵的迹

矩阵乘法

$c_{i,j}=Sigma_{k=1}^na_{i,k}b_{k,j} ci,j=Σk=1nai,kbk,j$

矩阵的积

内积：每个位置对应相乘得到的值之和
向量外积： $x^Ty xTy 矩阵外积就是矩阵乘法$

几个重要的等价命题

(

$A$ 是

ntimes n

$n \times n$ 的方阵矩阵)

矩阵
矩阵

向量空间

是一个向量的集合，在这个集合内能够满足向量的加法运算和数乘运算（运算的封闭性）

欧氏空间

$n$ 维的欧氏空间

R^n

$R^{n}$ 定义为所有

$n$ 维向量

当然也有形如

R^{mtimes n}

$R^{m \times n}$ 表示所有

mtimes n

$m \times n$ 实数矩阵

$Z$ 空间表示只有

{

}

{0}

${0}$ 向量的向量空间

P_n

$P_{n}$ 表示所有次数小于

$n$ 的多项式的集合

列空间

矩阵

$A$ 的列空间就是

$A$ 的列向量所有的线性组合
同理，矩阵

$A$ 的行空间就是

$A$ 的行向量所有的线性组合

子空间

一个向量空间的子集就是这个向量空间的子空间

张成

若干个向量的线性组合的集合
其中有个定理：
若

…

v_1, v_2, … , v_n

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 的是向量空间

$V$ 中的元素, 则向量

…

v_1, v_2, … , v_n

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 的张成

(

…

)

Span(v_1, v_2, … , v_n)

$Sp an (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ 是向量空间

$V$ 的一个子空间

张集

{

…

}

{v_1, v_2, … , v_n}

${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 张成向量空间

$V$ 自身.
其中

∈

v_iin V

$v_{i} \in V$

$n$ 个

$n$ 维列向量能张成向量空间

R_n

$R_{n}$ 的充要条件是这

$n$ 个列向量线性无关

线性无关

如果

⋯

c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n=0

$c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{n} v_{n} = 0$ 推出来标量

…

c_1,c_2,dots,c_n

$c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ 皆为0，
则向量

…

v_1,v_2,dots,v_n

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 是线性无关的

维数

若向量空间

$V$ 的一组基含有

$n$ 个向量，
则称向量空间𝑉𝑉的维数是

$n$ .
记做

dim

⁡

(

)

dim(V)= n

$dim (V) = n$

基

向量

…

∈

v_1, v_2, … , v_n in V

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \in V$ 满足：

$v_1, v_2, … , v_n v1,v2,…,vn线性无关$

则

…

v_1, v_2, … , v_n

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 是向量空间

$V$ 的基

基变换

若存在一组基

[

…

]

[v_1, v_2, … , v_n]

$[v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}]$
现在要将在这组基下的坐标用另外一组基

[

…

]

[u_1,u_2, … , u_n]

$[u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}]$ 表示出来
则有

x=Uc=Vd

$x = U c = V d$

⇒

Rightarrow

$\Rightarrow$

−

d=V^{-1}Uc

$d = V^{- 1} U c$
称

−

V^{-1}U

$V^{- 1} U$ 为转移矩阵

转移矩阵

从

$U$ 到

$I$ 的转移矩阵

$S$ 为

[

…

]

[u_1dots u_n]

$[u_{1} \dots u_{n}]$

零空间

Ax=0

$A x = 0$ 的解构成的一个向量空间，记作

(

)

N(A)

$N (A)$

简化-行阶梯型矩阵（rref）

最后要简化成形如

[

]

R=left[ begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{matrix} right]

$R =$

1000020000010003200000100

的矩阵
我们称第1、3、5列为主列，第2、4列为自由列

如此，我们称这个矩阵的秩为3，记作

(

)

rank(R)=r=3

$r ank (R) = r = 3$

矩阵的秩（解方程

解方程

Ax=b

$A x = b$ ，设其中一个特解是

∗

x^*

$x^{*}$
则方程的解集为

{

}

∗

(

)

{

∣

∈

(

)

}

{x}=x^*+N(A)={x+alpha|alphain N(A)}

${x} = x^{*} + N (A) = {x + α ∣ α \in N (A)}$

Ax=0

$A x = 0$ 的基础解系有

−

n-r

$n - r$ 个特解，这些特解构成

$A$ 的零空间
接着再找特解

∗

x^*

$x^{*}$
利用增广矩阵

[

∣

]

⇒

[

∣

]

[A|b]Rightarrow[R|d]

$[A ∣ b] \Rightarrow [R ∣ d]$
则

∗

Ax^*=b

$A x^{*} = b$ 的解等价于

∗

Rx^*=d

$R x^{*} = d$
即可解得

无穷个解

(

)

$r ank (A) n$ 时，等价

$m n$
否则，只有

x=0

$x = 0$ 一个解

(

)

$r ank (A) n$ 时，等价

$m n$

(

)

rank(A)=n

$r ank (A) = n$ 时，等价

m=n

$m = n$

总结，只和

(

)

rank(A)

$r ank (A)$ 和

$n$ 的大小有关

唯一解

无穷个解

d=0

$d = 0$ ，唯一解

≠

dnot=0

$d \neq = 0$ ，无解

d=0

$d = 0$ ，无穷解

≠

dnot=0

$d \neq = 0$ ，无解

另外，有重要结论：行秩等于列秩

线性变换

函数是线性的，满足以下两个条件：

可加性：
齐次性：

表示矩阵

将线性映射

$L$ 表示为矩阵乘法的形式
设

$L$ 是

R^n

$R^{n}$ →

R^m

$R^{m}$ 的线性变换, 且

[

…

]

E=[v_1dots v_n]

$E = [v_{1} \dots v_{n}]$ 是

R^n

$R^{n}$ 的有序基,

[

…

]

F=[w_1dots w_m]

$F = [w_{1} \dots w_{m}]$ 是

R^m

$R^{m}$ 的有序基,

$A$ 是相应于有序基

$E$ 和

$F$ 的表示矩阵
则

−

[

(

)

…

(

)

]

A=F^{-1}[L(v_1)dots L(v_n)]

$A = F^{- 1} [L (v_{1}) \dots L (v_{n})]$

也可以用增广矩阵求解
将

[

∣

(

)

…

(

)

]

A=[F|L(v_1)dots L(v_n)]

$A = [F ∣ L (v_{1}) \dots L (v_{n})]$ 用高斯若当法变为

[

∣

]

[I|A]

$[I ∣ A]$

相似矩阵

若存在可逆矩阵

$S$ 使得

−

B=S^{-1}AS

$B = S^{- 1} A S$ ，则称矩阵

$A$ 和矩阵

$B$ 相似

那么若已知

[

…

]

[u_1dots u_n]

$[u_{1} \dots u_{n}]$ 的表示矩阵

$A$ ，要求

[

…

]

[v_1dots v_n]

$[v_{1} \dots v_{n}]$ 的表示矩阵

$B$ ，则可以通过相似矩阵来求

−

B=S^{-1}AS

$B = S^{- 1} A S$ ，其中

$S$ 为

$U$ 到

$V$ 的转移矩阵

矩阵的迹

定义

(

)

tr(A)=Sigma_{i=1}^na_{i,i}

$t r (A) = Σ_{i = 1 n} a_{i, i}$

正交

正交向量

若两个向量外积为

$0$ ，则称两个向量正交，记为

⊥

xperp y

$x ⊥ y$

正交补

正交和正交补共同张成完整的向量空间，

$X$ 的正交补记作

⊥

X^perp

$X^{⊥}$

向量投影

向量

$b$ 到向量

$a$ 的投影

p=afrac{a^Tb}{a^Ta}

$p = a \frac{a ^{T} b}{a ^{T} a}$

投影矩阵

当

Ax=b

$A x = b$ 无解时，找到最小二乘解

widehat{x}

$x$

投影矩阵

(

)

−

P=A(A^TA)^{-1}A^T

$P = A (A^{T} A)^{- 1} A^{T}$

性质：

$P=P^T P=PT$
$P^k=P Pk=P，对于 k ∈ R kin R k∈R$

此时，最小二乘解

(

)

−

widehat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb

$x$

=(ATA)−1ATb

正交矩阵

定义正交矩阵

$Q$ ，满足

Q^TQ=I

$Q^{T} Q = I$
那么这个正交矩阵的投影矩阵可以表示为

P=QQ^T

$P = Q Q^{T}$
同时，对于

Qx=b

$Q x = b$ 这个方程，最小二乘解也可以表示为

widehat{x}=Q^Tb

$x$

=QTb

那么我们考虑将

Ax=b

$A x = b$ 变为

Qx=b

$Q x = b$
对于

$A$ 中的每个列向量，进行如下操作：
第一步：

得到所有的

u_i

$u_{i}$

第二步：

得到所有的

q_i

$q_{i}$ ，再把其合成一个矩阵

$Q$
（其中

∣

||x||

$∣∣ x ∣∣$ 表示

$x$ 的长度）

第三步：
再令

[

⋯

⋱

⋮

]

R= left[ begin{matrix} q_1^Ta_1 & q_1^Ta_2 & cdots & q_1^Ta_n 0 & q_2^Ta_2 & cdots & q_2^Ta_n 0 & 0 & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & q_n^Ta_n end{matrix} right]

$R =$

q1Ta1000q1Ta2q2Ta200⋯⋯⋱0q1Tanq2Tan⋮qnTan

这样我们就把

$A$ 分解成了

$QR$ （

A=QR

$A = QR$ ）
就可以用回代法求解

Rwidehat{x}=Q^Tb

$R x$

=QTb

特征值和特征向量

求解

Ax=lambda x

$A x = λ x$

特征值

lambda

$λ$ 满足

det

⁡

(

−

)

det(A-lambda I)=0

$det (A - λ I) = 0$
特征值有如下性质：

$lambda_1lambda_2cdotslambda_n=det(A) λ1λ2⋯λn=det(A)$
$lambda_1+lambda_2+cdots+lambda_n=tr(A) λ1+λ2+⋯+λn=tr(A)$
$A^kx=lambda^k x Akx=λkx，对于 k ∈ R kin R k∈R$

特征向量

(

−

)

(A-lambda I)x=0

$(A - λ I) x = 0$ 的解

$x$ 称为特征向量

矩阵的对角化

对于矩阵

$A$ ，将其对角化为

−

XLambda X^{-1}

$X Λ X^{- 1}$

其中

[

⋱

]

[

⋯

]

Lambda=left[ begin{matrix} lambda_1 & 0 & 0& 0 0 & lambda_2 & 0 & 0 0 & 0 & ddots & 0 0 & 0 & 0 & lambda_n end{matrix} right] X=[x_1x_2cdots x_n]

$Λ =$

λ10000λ20000⋱0000λn

X=[x1x2⋯xn]
值得注意的是要一一对应

相似矩阵有相同的特征值

先写到这

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基

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线性变换

表示矩阵

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正交

正交向量

正交补

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特征值

特征向量

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行列式

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向量空间

欧氏空间

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子空间

张成

张集

线性无关

维数

基

基变换

转移矩阵

零空间

简化-行阶梯型矩阵 （rref）

矩阵的秩（解方程 A x = b Ax=b Ax=b）

A x = 0 Ax=0 Ax=0解的个数（ m × n mtimes n m×n的矩阵）

m mn时

m = n m=n m=n时

m > n m>n m>n时

A x = b Ax=b Ax=b解的个数（ m × n mtimes n m×n的矩阵）

r a n k ( A ) = m = n rank(A)=m=n rank(A)=m=n时

r a n k ( A ) = m rank(A)=mn时

r a n k ( A ) = n rank(A)=nm时

r a n k ( A ) rank(A)n且 r a n k ( A ) rank(A)m时

线性变换

表示矩阵

相似矩阵

矩阵的迹

正交

正交向量

正交补

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特征值和特征向量

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