题目
I
=
lim
x
→
1
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
⋯
(
1
−
x
n
)
(
1
−
x
)
n
=
?
I = lim_{x rightarrow 1} frac{(1-x) (1-sqrt{x}) cdots (1- sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
I=x→1lim(1−x)n(1−x)(1−x
)⋯(1−nx
)=?
解析
I
=
lim
x
→
1
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
⋯
(
1
−
x
n
)
(
1
−
x
)
n
=
lim
(
x
−
1
)
→
0
(
1
−
x
)
[
1
−
1
+
(
x
−
1
)
]
⋯
(
1
−
1
+
(
x
−
1
)
n
)
(
1
−
x
)
n
=
lim
(
x
−
1
)
→
0
(
1
−
x
)
[
−
1
2
(
x
−
1
)
]
⋯
[
−
1
n
(
x
−
1
)
]
(
1
−
x
)
n
=
lim
(
1
−
x
)
→
0
(
1
−
x
)
1
2
(
1
−
x
)
⋯
1
n
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
n
=
lim
(
1
−
x
)
→
0
(
1
−
x
)
n
⋅
1
1
⋅
1
2
⋯
1
n
(
1
−
x
)
n
=
1
n
!
begin{aligned} I = & lim_{x rightarrow 1} frac{(1-x) (1-sqrt{x}) cdots (1- sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = & lim_{(x-1) rightarrow 0} frac{(1-x) [1-sqrt{1 + (x-1)}] cdots (1- sqrt[n]{1 + (x-1)})}{ (1-x)^{n} } = & lim_{(x-1) rightarrow 0} frac{(1-x) [-frac{1}{2} (x-1)] cdots [-frac{1}{n} (x-1)]}{(1-x)^{n}} = & lim_{(1-x) rightarrow 0} frac{(1-x) frac{1}{2} (1-x) cdots frac{1}{n} (1-x)}{(1-x)^{n}} = & lim_{(1-x) rightarrow 0} frac{(1-x)^{n} cdot frac{1}{1} cdot frac{1}{2} cdots frac{1}{n}}{(1-x)^{n}} = frac{1}{n!} end{aligned}
I=====x→1lim(1−x)n(1−x)(1−x
)⋯(1−nx
)(x−1)→0lim(1−x)n(1−x)[1−1+(x−1)
]⋯(1−n1+(x−1)
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)(x−1)→0lim(1−x)n(1−x)[−21(x−1)]⋯[−n1(x−1)](1−x)→0lim(1−x)n(1−x)21(1−x)⋯n1(1−x)(1−x)→0lim(1−x)n(1−x)n⋅11⋅21⋯n1=n!1
详细解析：当分子中包含无穷多个因式的时候，该怎么计算极限？ – 荒原之梦
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