2 案例背景

2.1 问题描述

         matlab代码及该函数的图形如下。

x = linspace(0, 12.1, 200);
y = linspace(4.1, 5.8, 200);
[x, y] = meshgrid(x,y);
f = 21.5+x.*sin(4*pi*x)+y.*sin(20*pi*y);
 
figure;
surf(x,y,f);
colormap(gca, 'jet')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('f(x,y)');
title('函数图像')

        从图7-2中可以看出，该非线性函数在给定范围内分布着许多局部极值，通常的寻优算法极易陷入局部极值或在各局部极值间振荡，比较适用于验证多种群遗传算法的性能。

2.2 解题思路及步骤

3 MATLAB程序实现

        SGA部分直接使用英国谢菲尔德大学推出的基于MATLAB的遗传算法工具箱，所以对应的函数实现这里不做介绍，详细的可以参考工具箱函数。下面详细介绍移民算子和人工选择算子的实现。

3.1 移民算子

        移民算子函数名为immigrant,函数的输入、输出参数如表7-2所列。

        具体函数代码如下：  

function [Chrom,ObjV]=immigrant(Chrom,ObjV)
%% 移民算子
MP=length(Chrom);
for i=1:MP
    [MaxO,maxI]=max(ObjV{i});  % 找出第i种群中最优的个体
    next_i=i+1;                % 目标种群（移民操作中）
    if next_i>MP;next_i=mod(next_i,MP);end
    [MinO,minI]=min(ObjV{next_i});          %  找出目标种群中最劣的个体
    %% 目标种群最劣个体替换为源种群最优个体
    Chrom{next_i}(minI,:)=Chrom{i}(maxI,:);
    ObjV{next_i}(minI)=ObjV{i}(maxI);
end

3.2 人工选择算子

        具体函数代码如下：  

function [MaxObjV,MaxChrom]=EliteInduvidual(Chrom,ObjV,MaxObjV,MaxChrom)
%% 人工选择算子
MP=length(Chrom);  %种群数
for i=1:MP
    [MaxO,maxI]=max(ObjV{i});   %找出第i种群中最优个体
    if MaxO>MaxObjV(i)
        MaxObjV(i)=MaxO;         %记录各种群的精华个体
        MaxChrom(i,:)=Chrom{i}(maxI,:);  %记录各种群精华个体的编码
    end
end

3.3 目标函数

function obj=ObjectFunction(X)
%% 待优化的目标函数
col=size(X,1);
for i=1:col
    obj(i,1)=21.5+X(i,1)*sin(4*pi*X(i,1))+X(i,2)*sin(20*pi*X(i,2));
%     obj(i,1)=exp(((X(i,1)-0.1)/0.8)^2)*(sin(5*pi*X(i,1)))^6;
end

3.4 标准遗传算法主函数

%% 标准遗传算法SGA
clear;
%clc
pc=0.7;     % 交叉概率
pm=0.05; % 变异概率
%定义遗传算法参数
NIND=40;        %个体数目
MAXGEN=500;     %最大遗传代数
NVAR=2;               %变量的维数
PRECI=20;             %变量的二进制位数
GGAP=0.9;             %代沟
trace=zeros(MAXGEN,1); %记录优化轨迹
FieldD=[rep(PRECI,[1,NVAR]);[-3,4.1;12.1,5.8];rep([1;0;1;1],[1,NVAR])]; %建立区域描述器
Chrom=crtbp(NIND, NVAR*PRECI);                       %创建初始种群
gen=0;                                               %代计数器   
ObjV=ObjectFunction(bs2rv(Chrom, FieldD));%计算初始种群个体的目标函数值
[maxY,I]=max(ObjV); %最优值
X=bs2rv(Chrom, FieldD);
maxX=X(I,:);
while gen

3.5 多种群遗传算法主函数

        使用多种群遗传算法解决实现的主函数：

%%
%% 2、多种群遗传算法
clear;
clc
NIND=40;               %个体数目
NVAR=2;                %变量的维数
PRECI=20;              %变量的二进制位数
GGAP=0.9;              %代沟
MP=10;                 %种群数目
FieldD=[rep(PRECI,[1,NVAR]);[-3,4.1;12.1,5.8];rep([1;0;1;1],[1,NVAR])];  %译码矩阵
for i=1:MP
    Chrom{i}=crtbp(NIND, NVAR*PRECI);                       %创建初始种群
end
pc=0.7+(0.9-0.7)*rand(MP,1);    %在【0.7,0.9】范围i内随机产生交叉概率
pm=0.001+(0.05-0.001)*rand(MP,1);  %在【0.001,0.05】范围内随机产生变异概率
gen=0;  %初始遗传代数
gen0=0; %初始保持代数
MAXGEN=10;  %最优个体最少保持代数
maxY=0; %最优值
for i=1:MP
    ObjV{i}=ObjectFunction(bs2rv(Chrom{i}, FieldD));%计算各初始种群个体的目标函数值
end
MaxObjV=zeros(MP,1);           %记录精华种群
MaxChrom=zeros(MP,PRECI*NVAR); %记录精华种群的编码
while gen0maxY   %判断当前优化值是否与前一次优化值相同
        maxY=YY(gen); %更新最优值
        gen0=0;
    else
        gen0=gen0+1; %最优值保持次数加1
    end
end
%% 进化过程图
plot(1:gen,YY);
xlabel('进化代数')
ylabel('最优解变化')
title('MPGA进化过程')


%% 输出最优解
[Y,I]=max(MaxObjV);    %找出精华种群中最优的个体
X=(bs2rv(MaxChrom(I,:), FieldD));   %最优个体的解码解
disp(['最优值为：',num2str(Y)])
disp(['对应的自变量取值：',num2str(X)])

4 结果分析

        标准遗传算法运行5次得到的结果如下所示。

        从结果可以看出，5次得到的优化结果均不相同，标准遗传算法很不稳定，而且在接近500代的时候仍然未稳定下来，说明最优解还有上升的可能。对于这种复杂的函数优化，使用标准的遗传算法已经很难得到最优解了。

        多种群遗传算法运行5次得到的结果如下。

        从结果可以看出，多种群遗传算法运行5次的结果完全一致，说明多种群遗传算法稳定性很好，而且使用的遗传代数都很小，最大的不超过70代。可见，多种群遗传算法的收敛速度快，适合复杂问题的优化。因为MPGA中采用了多个种群同时对解空间进行协同搜索，兼顾了算法的全局搜索和局
部搜索，计算结果对遗传控制参数的敏感性大大降低，对克服未成熟收敛有显著的效果。

5 延伸阅读

        在遗传算法的基础上，MPGA将SGA算法结构进行了扩展，引入了多个种群同时对解空间进行协同搜索，兼顾了算法全局搜索和局部搜索能力的均衡，大大降低了遗传控制参数的不当设定对规划结果的影响，对抑制未成熟收敛的发生有明显的效果。实际算例表明，MPGA用于复杂函数优化是非常有效的。 2.1节中的问题是对二元函数的优化，MPGA对于单元或者是其他任意元的函数优化均可以实现，只是需要稍微做些修改即可。例如在[0,1]区间求最大值：

只需修改目标函数和主函数中变量的维数和译码矩阵即可。