高数笔记03：几何、物理应用

图源：文心一言

本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~

第1版：查资料、画导图~

参考资料：《高等数学基础篇》武忠祥

思维导图

思维导图为整理武老师基础教材所列内容，时间关系有些仓促，请多包涵~
博文后面会以大纲的形式复述一遍，面向复习，不会写得很详细，且可能有误；较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~

向量代数
- 数量积【数字】
  - 几何表示：
  - 代数表示：
  - 几何应用
    - 求夹角
    - 判定垂直
  图源：线性代数~数量积 – 知乎
- 向量积【向量】
  - 几何表示
    - 模：
    - 方向：右手法则
  - 代数表示：矩阵【首行基坐标，次行向量a的分量，尾行向量b的分量】
  图源：向量外积的坐标形式_向量外积的坐标表示-CSDN博客
  - 运算规律：【模不变，方向相反】
  - 几何应用
    - 求同时垂直于 a 和 b 的向量
    - 判定平行
    - 求以a和b为邻边的平行四边形的面积
  图源：向量的数量积与向量积 – 童趣PBL
- 混合积【数字】
  - 几何表示：
  - 代数表示：矩阵【首行向量a的分量，次行向量b的分量，尾行向量c的分量】
  图源：1272.　如何计算混合积?-高等数学-专业词典
  - 运算规律
    - 轮换对称性：
    - 交换变号：
    - 原理：矩阵交换1次行列变正负号
  - 几何应用
    - 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积
    - 求向量共面：(abc)=0【等式中任意两个向量平行，则3个向量必共面】
  图源：混合积的几何意义
空间解析几何
- 平面空间与直线
  - 概要
    - 平面方程
      一般式：
      
      点法式：平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线
      
      截距式：经过坐标轴的3个交点表示平面
      
      图源：平面方程_百度百科 (baidu.com)
    - 直线方程
      一般式：2个平面的交线表示直线
      
      对称式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      
      参数式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      服务器托管网
      
      图源：不可不知的——直线的参数方程 (qq.com)
    - 点到平面的距离
      
      距离为M1M0在平面法向量的投影长度：
      
      代入点，M1与MO点乘为分子，M0满足平面方程化简，平面法向量的模为分母：
      
      图源：点到平面距离_百度百科 (baidu.com)
    - 点到直线的距离
      
      平行四边形满足等式：
      
      代入方向向量S（l,m,n），B（x1,x2,x3）,A（x0,y0,z0），得
  - 题型
    - 求法向量、切线向量，建立平面与直线的方程
    - 求点到直线的距离
- 曲面与空间曲线
  - 概要
    - 曲面方程
    - 空间曲线
      参数式【螺线】
      
      图源：确实没找到…
      
      一般式：2个曲面的交线表示空间曲线
    - 常见曲面
      - 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
      - 柱面：平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹
        
        图源：抛物柱面函数 – 快懂百科
      - 二次曲面
        
        圆柱面
        
        圆锥面
        
        旋转抛物面
        
        椭球面
        
        图源：【高等数学】九种标准二次曲面 – 知乎 (zhihu.com)
      - 空间曲线投影
        
        投影柱面：曲线一般式联立消去z，得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面
        
        投影平面：在投影柱面方程的基础上，增加限制条件 z = 0，检查其它变量的取值范围，即为曲线在xoy面的投影
        
        图源：柱面坐标 – 搜狗百科 (sogou.com)
  - 题型
    - 曲面方程
      求柱面方程
      
      求旋转面方程
      
      求投影曲线方程
    - 解析几何
      曲面的切平面与法线，核心：求法向量
      
      曲线的切线与法平面，核心：求切向量

积分学的几何应用
- 单积分、二重积分
  - 概念
    - 平面图形的面积
      直角坐标
      
      极坐标
    - 旋转体体积
      绕x轴旋转，其中体积微元 = 底面积 x 高
      
      图源：单变量微积分-第十六讲-积分的应用（一） – 知乎
      
      绕y轴旋转，其中体积微元 = 环状窄带周长 x 截面积
      
      图源：定积分的应用之柱壳法求旋转体体积_-CSDN博客
      
      绕直线旋转，其中体积微元 = = 环状窄带周长 x 截面积，表示点到直线距离
      
      图源：高等数学解题常用公式笔记总结
    - 曲线弧长：同对弧长的线积分
    - 旋转体侧面积
      绕x轴旋转，其中面积微元 = 环状窄带周长 x 高度，
      
      图源：求曲线绕x轴旋转一周的旋转体的侧面积_360问答
  - 题型
    - 几何应用：
      定积分求面积
      
      绕轴旋转体积
    - 物理应用
      - 容积 = 底面积 x 高
        
        球1底面积，高度微元
        
        球1体积微元，积分域-1到1/2
        
        球1体积，代入圆的公式，得
        
        球2与球1体积相等，球1体积2即为所求
      - 做功 = 力 x 距离
        
        球1受力微元，距离；
        
        球1做功微元；
        
        以上，球1区域做功；
        
        同理，球2区域做功；
      - 压强 = 压力 x 面积
        
        区域1压力：，区域1面积；
        
        区域1压强微元：；
        
        区域1压强：；
        
        区域2压力：，区域2面积；
        
        区域2压强微元：；
        
        区域2压强：；
- 三重积分
  - 简述：区域点的函数值 x 体积微元，累加求和
  - 性质
    - 奇偶性、轮换对称性
    - 不等式性质
    - 积分中值定理
  - 计算
    - 先一后二
      计算
      
      作垂直于z轴的直线，穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)，即z的积分上下限是x，y的函数
      
      先计算有关z的积分，再转化为求x，y的二重积分
      
      适合坐标
      
      印象中比较万能…
    - 先二后一
      计算
      
      作平行于z轴的截面，得到封闭曲线，即z的积分上下限是常数
      
      先计算有关x,y的二重积分，再转化为求z的单积分
      
      适合坐标
      
      被积函数：，这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到
      
      积分域：面积较为规则，方便计算
    - 柱坐标
      与直角坐标的关系
      
      坐标
      
      体积微元
      
      适合坐标
      
      被积函数：
      
      积分域：柱面、锥面
    - 球坐标
      服务器托管网
      
      与直角坐标的关系
      
      坐标
      
      体积微元
      
      适合坐标
      
      被积函数：
      
      积分域：球面、球壳、锥面
- 曲线积分
  - 对弧长的线积分
    - 简述：函数值 x 弧长微元，累加求和
    - 计算方法
      
      直接法
      
      体积微元
      
      参数方程：
      
      直角坐标：
      
      极坐标：
      
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      
      奇偶性【x轴、y轴】
      
      对称性【直线y=x】
    图源：【高等数学】定积分元素法及应用（待续） – 知乎
  - 对坐标的线积分
    - 简述：函数值 x 有向线段的投影，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      
      被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
      
      积分域：从起点到终点【与方向有关，逆时针为正向】
      
      格林公式
      
      要求
      
      闭区域由分段光滑曲线围成
      
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      
      作用：平面坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：格林公式 – 搜狗百科
      
      斯托克斯公式
      
      要求
      
      闭区域由空间分段光滑曲线围成，方向符合右手法则
      
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      
      作用：空间坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：斯托克斯公式的意义? – 知乎
      
      图源：怎么记住斯托克斯公式（Stokes’ theorem）？ – 知乎
    - 方法选择
      曲线L是否封闭？
      
      是：格林【平面】/ 斯托克斯【空间】
      
      否：是否与路径无关？
      
      是
      
      改换路径【一般选择平行坐标轴】
      
      寻找原函数【偏积分、凑微分】
      
      否
      
      直接法【注意方向】
      
      补线使用公式
  - 两类线积分的关系
    - 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 = 对坐标的线积分
    图源：多元微积分—— 知乎
- 曲面积分
  - 对面积的面积分
    - 简述：函数值 x 面积微元，累加求和
    - 计算方法
      
      直接法
      
      体积微元：
      
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      
      奇偶性【x轴、y轴】
      
      轮换对称性
  - 对坐标的面积分
    - 简述：函数值 x 有向投影域面积，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      
      被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
      
      积分域：从起点到终点【与方向有关，上、前、右侧为正向】
      
      高斯公式
      
      要求
      
      闭区域由分段光滑曲线围成
      
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      
      作用：空间坐标的面积分转化为三重积分
      
      图源：高斯公式 – Bing
    - 方法选择
      曲面是否封闭且不存在奇点？
      
      是：高斯公式
      
      否
      
      直接法【注意方向】
      
      补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式
  - 两类面积分的关系
    - 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 = 对坐标的面积分
- 多元积分应用
  - 概要
    - 平板面【二重积分】
      面积
      
      被积函数：1
      
      质量
      
      被积函数：
      
      质心
      
      被积函数：
      
      转动惯量
      
      被积函数：【对y轴】
    - 推广
      空间体【三重积分】
      
      曲线【一型线积分】
      
      曲面【一型面积分】
    - 变力做功【二型线积分】
    - 通量【二型面积分】
  - 题型
    - 形心
    - 质心
    - 变力做功