首先声明【这个括号内的都是批注】
文章目录
- 1 古典概型求概率
-
- 1.1 随机分配问题【放球】
-
- 例子
- 1.2 简单随机抽样问题【取球】
-
- 例子
- 2 几何概型求概率
-
- 例子
- 3 重要公式求概率
-
- 3.1 对立
- 3.2 互斥
- 3.3 独立
- 3.4 条件(要做分母的必须大于0)
-
- 例子
- 3.5 不等式或包含
-
- 例子
- 3.6 最值【被包含的往往更小,即交集往往被并集包含】
-
- 例子
- 4 事件独立性的判定
-
- 4.1 定义
- 4.2 判定【只要独立,咋都独立】
-
- 例子
1 古典概型求概率
1.1 随机分配问题【放球】
将n个球随机放到N个盒子中
放的方式 | 放的总数 |
---|---|
每个盒子可以放多个球 |
N n N^n Nn |
每个盒子只能放一个球 |
P N n P_N^n PNn |
例子
1. 将n个球随机放入
N
(
n
≤
N
)
N(n≤N)
N(n≤N)个盒子中,每个盒子可以放任意多个球,球下列事件的概率:
A={某指定n个盒子各有一球},B={恰有n个盒子各有一球},C={指定k(k≤n)个盒子各有一球}
【分析:题给每个盒子可以放任意多个球,所以基本事件总数为
N
n
N^n
Nn,置于分母 。分子上是给定条件下的总数:对于A和C,指定代表仅一种情况;对于B,恰有n个代表
C
N
n
C_N^n
CNn】
n个盒子各有1球有
n
!
n!
n!种放法:
p
(
A
)
=
1
n
!
N
n
,
p
(
B
)
=
[
C
N
n
n
!
]
/
N
n
p(A)=frac {1n!} {N^n},p(B)=[C_N^nn!]/N^n
p(A)=Nn1n!,p(B)=[CNnn!]/Nn
先从n个球中选k个球有
C
N
n
C^n_N
CNn种选法,k个盒子各有1球有
k
!
k!
k!种放法,还剩下
(
n
−
k
)
(n-k)
(n−k)个球要放在
(
N
−
k
)
(N-k)
(N−k)个盒子里有
(
N
−
k
)
(
n
−
k
)
(N-k)^{(n-k)}
(N−k)(n−k)种放法:
p
(
C
)
=
[
C
N
n
k
!
(
N
−
k
)
(
n
−
k
)
]
/
N
n
p(C)=[C^n_Nk!(N-k)^{(n-k)}]/N^n
p(C)=[CNnk!(N−k)(n−k)]/Nn
2. 有12个人回母校参加校庆,每个人在365天哪一天出生等可能,则
A
1
=
{
生日分别为每个月的第一天
}
A_1={生日分别为每个月的第一天}
A1={生日分别为每个月的第一天};
B
1
=
{
生日全不相同
}
B_1={生日全不相同}
B1={生日全不相同};
B
1
‾
=
{
至少有
2
人生日相同
}
overline{B_1}={至少有2人生日相同}
B1={至少有2人生日相同};
C
1
=
{
有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节
}
C_1={有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节}
C1={有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节}。
【分析:12个球放入365个盒子中,每个盒子可以放任意多个球。
A
1
A_1
A1与
C
1
C_1
C1对应1.1中的A和C,都是指定;
B
1
B_1
B1对应1.1中的B】
p
(
A
)
=
[
1
12
!
]
/
36
5
12
,
p
(
B
1
)
=
[
C
365
12
12
!
]
/
36
5
12
,
p
(
B
1
‾
)
=
1
−
p
(
B
1
)
p(A)=[112!]/365^{12},p(B_1)=[C_{365}^{12}12!]/365^{12},p(overline{B_1})=1-p(B_1)
p(A)=[112!]/36512,p(B1)=[C3651212!]/36512,p(B1)=1−p(B1)
p
(
C
1
)
=
[
C
12
3
3
!
(
365
−
3
)
(
12
−
3
)
]
/
36
5
12
p(C_1)=[C_{12}^{3}3!(365-3)^{(12-3)}]/365^{12}
p(C1)=[C1233!(365−3)(12−3)]/36512
1.2 简单随机抽样问题【取球】
在含
N
N
N个球的盒子中进行n次简单随机抽样
取的方式 | 取的总数 |
---|---|
【拿了还在】先后有放回取
n n n次 |
N n N^n Nn |
【拿了就没了】先后无放回取
n n n次 |
P N n P_N^n PNn |
【拿了就没了】任取
n n n个 |
C N n C_N^n CNn |
可以发现,无放回和任取,其实是一个意思的不同表达,只不过任取是没按照顺序随便取的,而无放回是按顺序一个一个取的。但是,无放回取n个和任取n个,都是从总数中拿走了n个,因此在计算的时候可以将无放回按照任取来算,因为在计算过程中,无放回的顺序是会被抵消的。
即:“先后无放回取n个球”与“任取n个球”的概率相同
例子
抓阄模型即盲盒抽签。(3)(4)就是:不管你是否有放回,我闭着眼睛取,就是不看取到的是什么球,但从100个球里面取到白球的概率都是等可能的2/5,所以不管取几次,取到白球的概率都是不变的。
比如有100个人买彩票,其中有一张彩票是有奖的,那么获奖的总概率是1/100,我是第51个买到彩票的,但我获奖的概率依然是1/100,因为我不知道前面买了彩票的人是否中奖了。
但如果是100张刮刮奖,由一张刮刮奖是有奖的,还没刮之前,每张获奖概率是1/100。前面50个人买了,且现场刮开了,发现都没有奖,那么有奖的在还剩下的5张刮刮奖里面,此时我再去买,获奖概率就变成了50/100=1/2。这就不是抓阄模型了,抓阄模型是事先都不知道对方有没有中奖,而这是已知有多少人没中奖的情况下,我能中奖的概率,为条件概率模型。
2 几何概型求概率
若全集是一个几何区域,样本点落入某一子区域的概率是:子区域的面积与总区域面积之比。
例子
3 重要公式求概率
3.1 对立
①德摩根定律【长杠变短杠,开口换方向】:
A
∪
B
‾
=
A
‾
∩
B
‾
,
A
B
‾
=
A
‾
∪
B
‾
overline{A∪B}=overline{A}∩overline{B},overline{AB}=overline{A}∪overline{B}
A∪B=A∩B,AB=A∪B
②
P
(
A
)
=
1
−
P
(
A
‾
)
P(A)=1-P(overline{A})
P(A)=1−P(A)
3.2 互斥
①
A
∪
B
=
A
∪
A
‾
B
=
B
∪
A
B
‾
=
A
B
‾
∪
A
B
∪
A
‾
B
A∪B=A∪overline{A}B=B∪Aoverline{B}=Aoverline{B}∪AB∪overline{A}B
A∪B=A∪AB=B∪AB=AB∪AB∪AB.
②若
B
1
,
B
2
,
B
3
B_1,B_2,B_3
B1,B2,B3为完备事件组,即
=
B
1
∪
B
2
∪
B
3
=B_1∪B_2∪B_3
=B1∪B2∪B3,
则
A
=
A
=
A
(
B
1
∪
B
2
∪
B
3
)
=
A
B
1
∪
A
B
2
∪
A
B
3
A=A=A(B_1∪B_2∪B_3)=AB_1∪AB_2∪AB_3
A=A=A(B1∪B2∪B3)=AB1∪AB2∪AB3
③
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A-B)=P(Aoverline{B})=P(A)-P(AB)
P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB)
容易得到:若
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
‾
B
)
P(Aoverline{B})=P(overline{A}B)
P(AB)=P(AB),则
P
(
A
)
=
P
(
B
)
P(A)=P(B)
P(A)=P(B)
④
a.
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
b.
P
(
A
+
B
+
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
B
)
−
P
(
A
C
)
−
P
(
B
C
)
+
P
(
A
B
C
)
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
c.若
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C两两互斥,则
P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
3.3 独立
①若
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C相互独立,则
P
(
A
B
C
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
①若
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C相互独立,则
P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
1
−
P
(
A
∪
B
∪
C
‾
)
=
1
−
P
(
A
‾
B
‾
C
‾
)
=
1
−
P
(
A
‾
)
P
(
B
‾
)
P
(
C
‾
)
P(A∪B∪C)=1-P(overline{A∪B∪C})=1-P(overline{A}overline{B}overline{C})=1-P(overline{A})P(overline{B})P(overline{C})
P(A∪B∪C)=1−P(A∪B∪C)=1−P(ABC)=1−P(A)P(B)P(C)
3.4 条件(要做分母的必须大于0)
①
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
(
P
(
B
)
>
0
)
P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)}(P(B)>0)
P(A∣B)=P(B)P(AB)(P(B)>0)
②
P
(
A
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
‾
)
P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)-P(Aoverline{B})
P(AB)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)=P(A)+P(B)−P(A+B)=P(A)−P(AB)
③【全概率公式(知因求果):已知在各个因素下B会发生的概率,去求B发生的概率】
若
A
1
,
A
2
,
A
3
A_1,A_2,A_3
A1,A2,A3为完备事件组,
P
(
A
i
)
>
0
(
i
=
1
,
2
,
3
)
P(A_i)>0(i=1,2,3)
P(Ai)>0(i=1,2,3),则
P
(
B
)
=
P
(
A
1
)
P
(
B
∣
A
1
)
+
P
(
A
2
)
P
(
B
∣
A
2
)
+
P
(
A
3
)
P
(
B
∣
A
3
)
P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)
P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3)
④【贝叶斯公式(执果索因):已知B已经发生了,那么是哪个因素导致的?】
若
A
1
,
A
2
,
A
3
A_1,A_2,A_3
A1,A2,A3为完备事件组,
P
(
A
i
)
>
0
(
i
=
1
,
2
,
3
)
P(A_i)>0(i=1,2,3)
P(Ai)>0(i=1,2,3),则
例子
- 设有甲、乙两名射击运动员,甲命中目标的概率是0.6,乙命中目标的概率是0.5,求下列事件的概率。
(1)从甲、乙中任选一人去射击,若命中,则是甲命中的概率;【事件来自不同阶段→贝叶斯公式】
(2)甲、乙两人各自独立射击,若目标命中,则是甲命中的概率.【事件来自相同阶段→条件概率】
3.5 不等式或包含
①
0
≤
P
(
A
)
≤
1
0≤P(A)≤1
0≤P(A)≤1.
②
若
A
⊆
B
,则
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
若A⊆B,则P(A)≤P(B)
若A⊆B,则P(A)≤P(B).
③
由于
A
B
⊆
A
⊆
A
+
B
,故
P
(
A
B
)
≤
P
(
A
)
≤
P
(
A
+
B
)
由于AB⊆A⊆A+B,故P(AB)≤P(A)≤P(A+B)
由于AB⊆A⊆A+B,故P(AB)≤P(A)≤P(A+B).
若当事件
A
,
B
同时发生时,事件
C
必然发生,则
A
B
⊆
C
若当事件A,B同时发生时,事件C必然发生,则AB⊆C
若当事件A,B同时发生时,事件C必然发生,则AB⊆C
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
1
≤
P
(
C
)
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=P(A)+P(B)-1≤P(C)
P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=P(A)+P(B)−1≤P(C)
例子
1.
事件
A
与
B
相互独立,
1.事件A与B相互独立,
1.事件A与B相互独立,
P
(
A
)
=
a
P(A)= a
P(A)=a
,
P
(
B
)
=
b
,P(B)=b
,P(B)=b,
若事件
C
发生必然导致
A
与
B
同时发生
,
那么
A
,
B
,
C
都不发生的概率为?
若事件C发生必然导致A与B同时发生,那么A,B,C都不发生的概率为?
若事件C发生必然导致A与B同时发生,那么A,B,C都不发生的概率为?
【分析:C发生会导致A,B同时发生,说明C在AB内,只有A和B同时发生C才会发生,单独发生的话C是不一定会发生的。而C若是不发生,那么可以推出要么是A不发生,要么是B不发生。题目所求的是A,B,C都不发生的概率,既然C不发生的话要么就是A不发生要么就是B不发生,那么A,B,C都不发生的概率不就是A,B都不发生的概率了。】
3.6 最值【被包含的往往更小,即交集往往被并集包含】
①
{
m
a
x
{
X
,
Y
}
≤
a
}
=
{
X
≤
a
}
∩
{
Y
≤
a
}
{max{X,Y}≤a}={X≤a}∩{Y≤a}
{max{X,Y}≤a}={X≤a}∩{Y≤a}【最大的都比a小,那都比a小】【且】
②
{
m
a
x
{
X
,
Y
}
>
a
}
=
{
X
>
a
}
∪
{
Y
>
a
}
{max{X,Y}>a}={X>a}∪{Y>a}
{max{X,Y}>a}={X>a}∪{Y>a}【求最大要的比a大,那要么X大于a,要么Y大于a】【或】
③
{
m
i
n
{
X
,
Y
}
≤
a
}
=
{
X
≤
a
}
∪
{
Y
≤
a
}
{min{X,Y}≤a}={X≤a}∪{Y≤a}
{min{X,Y}≤a}={X≤a}∪{Y≤a}【求最小的要比a小,那要么X小于等于a,要么Y小于等于a】【或】
④
{
m
i
n
{
X
,
Y
}
>
a
}
=
{
X
>
a
}
∩
{
Y
>
a
}
{min{X,Y}>a}={X>a}∩{Y>a}
{min{X,Y}>a}={X>a}∩{Y>a}【最小的都比a大,那都比a大】【且】
⑤
{
m
a
x
{
X
,
Y
}
≤
a
}
⊆
{
m
i
n
{
X
,
Y
}
≤
a
}
{max{X,Y}≤a}⊆{min{X,Y}≤a}
{max{X,Y}≤a}⊆{min{X,Y}≤a}【且⊆或】
⑥
{
m
服务器托管网
i
n
{
X
,
Y
}
>
a
}
⊆
{
m
a
x
{
X
,
Y
}
>
a
}
{min{X,Y}>a}⊆{max{X,Y}>a}
{min{X,Y}>a}⊆{max{X,Y}>a}【且⊆或】
【补充:同号考交集,不同号考全概率公式】
例子
4 事件独立性的判定
4.1 定义
设
A
,
B
为两个事件,若
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
,则称事件
A
与
B
相互独立
.
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.
若对于
A
,
B
,
C
三个事件:
若对于A,B,C三个事件:
若对于A,B,C三个事件:
①
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
①P(AB)=P(A)P(B)
①P(AB)=P(A)P(B)
②
P
(
A
C
)
=
P
(
A
)
P
(
C
)
②P(AC)=P(A)P(C)
②P(AC)=P(A)P(C)
③
P
(
B
C
)
=
P
(
B
)
P
(
C
)
③P(BC)=P(B)P(C)
③P(BC)=P(B)P(C)
④
P
(
A
B
C
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
④P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
④P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
若①②③④同时满足,则称事件
A
,
B
,
C
相互独立
若①②③④同时满足,则称事件A,B,C相互独立
若①②③④同时满足,则称事件A,B,C相互独立
若仅④不满足,则称事件
A
,
B
,
C
两两独立
若仅④不满足,则称事件A,B,C两两独立
若仅④不满足,则称事件A,B,C两两独立
4.2 判定【只要独立,咋都独立】
例子
设随机事件A与B相互独立,
0
0P(A)1,P(C)=1,则下列事件中不相互独立的是(C)
(
A
)
A
,
B
,
A
∪
C
(A)A,B,A∪C
(A)A,B,A∪C
(
B
)
A
,
B
,
A
−
C
(B)A,B,A-C
(B)A,B,A−C
(
C
)
A
,
B
,
A
C
(C)A,B,AC
(C)A,B,AC
(
D
)
A
,
B
,
A
‾
∩
C
‾
(D)A,B,overline{A}∩overline{C}
(D)A,B,A∩C
【分析】
A
‾
∩
C
‾
=
A
∪
C
‾
=
1
−
A
∪
C
overline{A}∩overline{C}=overline{A∪C}=1-A∪C
A∩C=A∪C=1−A∪C,若选A则D也必须选,所以同时排除A和D
由
P
(
C
)
=
1
得
P
(
C
‾
)
=
0
,
所以
P
(
A
−
C
)
=
P
(
A
C
‾
)
=
P
(
A
)
P
(
C
‾
)
=
0
,排除
B
由P(C)=1得P(overline{C})=0,所以P(A-C)=P(Aoverline{C})=P(A)P(overline{C})=0,排除B
由P(C)=1得P(C)=0,所以P(A−C)=P(AC)=P(A)P(C)=0,排除B
对于选项C,
P
(
A
C
)
=
P
(
A
)
P
(
C
)
=
P
(
A
)
≠
0
P(AC)=P(A)P(C)=P(A)≠0
P(AC)=P(A)P(C)=P(A)=0,所以选C
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