1、预备知识
如上图所示根据灵感棒的长短对灵感棒进行编号。
- 盒中共有3层，每层有3个仓位，一共有
9个仓位。 - 如果一个仓位满了，我们称为
满仓位；如果一个仓位不满(大约剩余一个圆柱的直径)，我们称为半仓位。 - 我们称
1、2和3号位为长棒，剩余为短棒。9个仓位中至少有一根长棒。
Remark： 半仓位+半仓位≠满仓位。半仓位并不是剩余一半仓位的意思，而是大约剩余一个圆柱的直径那个长的距离。
2、主要内容
固定搭配
- 3根
1号位有2种搭配。1号位+6号位=半仓位、1号位+7号位+8号位=满仓位。因为7号位只有一根，所以至少会有2根1号位分别和两根6号位组合，因此盒中至少会有两个半仓位。 - 4根
2号位有3种搭配。2号位+4号位=满仓位、2号位+5号位=半仓位、2号位+8号位×2=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。因为4号位只会和2号位搭配，所以至少有2根2号位分别和2根4号位搭配。 - 4根
3号位只有1种搭配。3号位+3号位=满仓位。4根3号位占据两个满仓位，那么3根1号位、4根2号位再加上占据两个满仓位的3号位刚好为9个仓位(3+4+2)。 - 2根
4号位只有1种搭配。2号位+4号位=满仓位。 - 2根
5号位有1种搭配或用于填充3个半仓位。2号位+5号位=半仓位。用于填充半仓位时有两种方式：竖着或横着，因为5号位的长度大约等于3个圆柱的直径，因此刚好可以竖在或横在盒子里。 - 3根
6号位有2种搭配。1号位+6号位=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。根据上诉分析，一定会有两根6号位分别和2根1号位组合，所以只剩下1根6号位可自由搭配。 - 1根
7号位有1种搭配或用于填充2个半仓位。1号位+7号位+8号位=满仓位。用于填充半仓位时有两种方式：竖着或横着，因为7号位的长度大约等于2个圆柱的直径，因此可以竖在或横在盒子里（不是刚好，因此会留下一个半仓位的空间）。 - 2根
8号位有3种搭配或用于填充3个半仓位。1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、2号位+8号位×2=半仓位。用于填充半仓位时2根8号位必须是搭配着，且有两种方式：竖着或横着，因为2根8号位的长度大约等于3个圆柱的直径，因此刚好可以竖在或横在盒子里，所以如果8号位去填充仓位时，必须两根都用上。因此可以看作：8号位+8号位=5号位。
组合分析
依据上诉分析，我们可以整理出一些没法自由搭配的组合：
- (
1号位+6号位)×2=半仓位×2。有4根3号位共占据2个满仓位。 - (
2号位+4号位)×2=满仓位×2。有2根2号位共占据2个满仓位。 - (
3号位+3号位)×2=满仓位×2。有4根3号位共占据2个满仓位。
则剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×2、5号位×2、6号位×1、7号位×1、8号位×2。
剩余的仓位：空仓位×3、半仓位×2。
接下来的问题就是如何使用剩余的灵感棒填充剩余的仓位了。因为可填充仓位的只有5号位、7号位和8号位，其中5号位和8号位可填充3个半仓位，7号位可填充2个半仓位。因为只剩余3个空仓位，即使全部变为半仓位，半仓位的数量最多就5个，因为可填充2个半仓位的7号位只有1根，所以半仓位的数量不可能为4个。综上所述半仓位的数量只能为3个或5个。
情况1：半仓位为3个
剩余的3个空仓位分配为：2个满仓位和1个半仓位，则剩余的仓位安排为：满仓位×2、半仓位×3。根据剩余的1个半仓位的安排情况可分为如下几种情况：
- 如果剩余的1个半仓位由
1号位提供，可搭配的组合为：1号位+6号位=半仓位，则剩余的7号位没有可搭配的组合。不可行！ - 如果剩余的1个半仓位由
2号位提供，可搭配的组合为：2号位+5号位=半仓位，剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。3个半仓位填充方案有2个， 1. 由1根5号位填充。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。两个满仓位的搭配方案：1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。可行！2. 由2根8号位填充。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1。此时不满足半仓位为3个的条件。不可行！
情况2：半仓位为5个
剩余的3个空仓位分配为：3个半仓位，则剩余的仓位安排为：半仓位×5。此时1个1号位和2个2号位都提供半仓位，所以1号位的搭配就可以固定下来：1号位+6号位=半仓位。剩余的灵感棒：2号位×2、5号位×2、7号位×1、8号位×2。2号位的半仓位提供情况可分为以下2种：
-
2号位+5号位=半仓位。剩余的灵感棒：7号位×1、8号位×2。1个7号位和2个8号位刚好填充5个半仓位。可行！ -
2号位+8号位×2=半仓位和2号位+5号位=半仓位。剩余的灵感棒：5号位×1、7号位×1。1个5号位和1个7号位刚好填充5个半仓位。可行！
3、总结
综上所述搭配方案共有如下几种：
- (
1号位+6号位)×2=半仓位×2、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、2号位+5号位=半仓位，剩余3个半仓位由5号位填充。组合方式：( C_6^1C_3^1C_6^2C_4^2C_2^1=3240 )种。 - (
1号位+6号位)×3=半仓位×2、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、(2号位+5号位)×3=半仓位×3，剩余5个半仓位由1个7号位和2个8号位填充。组合方式：( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 )种。 - (
1号位+6号位)×3=半仓位×3、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、2号位+8号位×2=半仓位、2号位+5号位=半仓位，剩余5个半仓位由1个5号位和1个7号位填充。组合方式：( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 )种。
总计共有6600种排列方式。
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