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前言
目前深度学习、AI研究很火爆，它们依赖的最底层就是简单的神经网络，本文将介绍神经网络基础，了解基本的神经网络原理，同时给出样例参考，该样例可以推广到其他的分类、回归问题分析
关键字：神经网络，BP，网络结构，梯度
正文
本文主要内容包括： (1) 介绍神经网络基本原理，(2) Matlab实现前向神经网络的方法。
第0节、引例
本文以Fisher的Iris数据集作为神经网络程序的测试数据集。
由于英文的类无法识别，故需要把对应的类用数字标识，数据集变成：
这里简要介绍一下Iris数据集：有一批Iris花，已知这批Iris花可分为3个品种，现需要对其进行分类。不同品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度会有差异。我们现有一批已知品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度的数据。一种解决方法是用已有的数据训练一个神经网络用作分类器。
第一节、神经网络基本原理
1. 人工神经元( Artificial Neuron )模型
人工神经元是神经网络的基本元素，其原理可以用下图表示：
图1：神经元
图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号，wij表示表示从神经元j到神经元i的连接权值，θ表示一个阈值 ( threshold )，或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为：
图中 yi表示神经元i的输出，函数f称为激活函数或转移函数 ( Transfer Function ) ，net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0，则上面的式子可以简化为：
若用X表示输入向量，用W表示权重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ……. , xn ]
则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式：
若神经元的净激活net为正，称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire)，若净激活net为负，则称神经元处于抑制状态。
图1中的这种“阈值加权和”的神经元模型称为M-P模型，也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )。
2. 常用激活函数
激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节，下面简要介绍常用的激活函数。
(1) 线性函数 ( Liner Function )
(2) 斜面函数 ( Ramp Function )
(3) 阈值函数 ( Threshold Function )
以上3个激活函数都属于线性函数，下面介绍两个常用的非线性激活函数。
(4) S形函数 ( Sigmoid Function )
该函数的导函数：
(5) 双极S形函数
该函数的导函数：
S形函数与双极S形函数的图像如下：
图2. S形函数与双极S形函数图像
双极S形函数与S形函数主要区别在于函数的值域，双极S形函数值域是(-1,1)，而S形函数值域是(0,1)。
由于S形函数与双极S形函数都是可导的(导函数是连续函数)，因此适合用在BP神经网络中。（BP算法要求激活函数可导）
3. 神经网络模型
神经网络是由大量的神经元互联而构成的网络。根据网络中神经元的互联方式，常见网络结构主要可以分为下面３类：
(1) 前馈神经网络 (Feedforward Neural Networks )
前馈网络也称前向网络。这种网络只在训练过程会有反馈信号，而在分类过程中数据只能向前传送，直到到达输出层，层间没有向后的反馈信号，因此被称为前馈网络。感知机( perceptron)与BP神经网络就属于前馈网络。
图3中是一个3层的前馈神经网络，其中第一层是输入单元，第二层称为隐含层，第三层称为输出层（输入单元不是神经元，因此图中有2层神经元）。
图3. 前馈神经网络
对于一个3层的前馈神经网络N，若用X表示网络的输入向量，W1~W3表示网络各层的连接权向量，F1~F3表示神经网络3层的激活函数。
那么神经网络的第一层神经元的输出为：
O1 = F1( XW1 )
第二层的输出为：
O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 )
输出层的输出为：
O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 )
若激活函数F1~F3都选用线性函数，那么神经网络的输出O3将是输入X的线性函数。因此，若要做高次函数的逼近就应该选用适当的非线性函数作为激活函数。
(2) 反馈神经网络 (Feedback Neural Networks )
反馈型神经网络是一种从输出到输入具有反馈连接的神经网络，其结构比前馈网络要复杂得多。典型的反馈型神经网络有：Elman网络和Hopfield网络。
图4. 反馈神经网络
(3) 自组织网络 ( SOM ,Self-Organizing Neural Networks )
自组织神经网络是一种无导师学习网络。它通过自动寻找样本中的内在规律和本质属性，自组织、自适应地改变网络参数与结构。
图5. 自组织网络
4. 神经网络工作方式
神经网络运作过程分为学习和工作两种状态。
(1)神经网络的学习状态
网络的学习主要是指使用学习算法来调整神经元间的联接权，使得网络输出更符合实际。学习算法分为有导师学习( Supervised Learning )与无导师学习( Unsupervised Learning )两类。
有导师学习算法将一组训练集 ( training set )送入网络，根据网络的实际输出与期望输出间的差别来调整连接权。有导师学习算法的主要步骤包括：
1） 从样本集合中取一个样本（Ai，Bi）；
2） 计算网络的实际输出O；
3） 求D=Bi-O；
4） 根据D调整权矩阵W；
5） 对每个样本重复上述过程，直到对整个样本集来说，误差不超过规定范围。
BP算法就是一种出色的有导师学习算法。
无导师学习抽取样本集合中蕴含的统计特性，并以神经元之间的联接权的形式存于网络中。
(2) 神经网络的工作状态
神经元间的连接权不变，神经网络作为分类器、预测器等使用。
下面简要介绍一下Hebb学习率与Delta学习规则 。
(3) 无导师学习算法：Hebb学习率
Hebb算法核心思想是，当两个神经元同时处于激发状态时两者间的连接权会被加强，否则被减弱。
为了理解Hebb算法，有必要简单介绍一下条件反射实验。巴甫洛夫的条件反射实验：每次给狗喂食前都先响铃，时间一长，狗就会将铃声和食物联系起来。以后如果响铃但是不给食物，狗也会流口水。
图6. 巴甫洛夫的条件反射实验
受该实验的启发，Hebb的理论认为在同一时间被激发的神经元间的联系会被强化。比如，铃声响时一个神经元被激发，在同一时间食物的出现会激发附近的另一个神经元，那么这两个神经元间的联系就会强化，从而记住这两个事物之间存在着联系。相反，如果两个神经元总是不能同步激发，那么它们间的联系将会越来越弱。
Hebb学习律可表示为：
其中wij表示神经元j到神经元i的连接权，yi与yj为两个神经元的输出，a是表示学习速度的常数。若yi与yj同时被激活，即yi与yj同时为正，那么Wij将增大。若yi被激活，而yj处于抑制状态，即yi为正yj为负，那么Wij将变小。
(4) 有导师学习算法：Delta学习规则
Delta学习规则是一种简单的有导师学习算法，该算法根据神经元的实际输出与期望输出差别来调整连接权，其数学表示如下：
其中Wij表示神经元j到神经元i的连接权，di是神经元i的期望输出，yi是神经元i的实际输出，xj表示神经元j状态，若神经元j处于激活态则xj为1，若处于抑制状态则xj为0或－1（根据激活函数而定）。a是表示学习速度的常数。假设xi为1，若di比yi大，那么Wij将增大，若di比yi小，那么Wij将变小。
规则简单讲来就是：若神经元实际输出比期望输出大，则减小所有输入为正的连接的权重，增大所有输入为负的连接的权重。反之，若神经元实际输出比期望输出小，则增大所有输入为正的连接的权重，减小所有输入为负的连接的权重。这个增大或减小的幅度就根据上面的式子来计算。
(5)有导师学习算法：BP算法
采用BP学习算法的前馈型神经网络通常被称为BP网络。
图7. 三层BP神经网络结构
BP网络具有很强的非线性映射能力，一个3层BP神经网络能够实现对任意非线性函数进行逼近（根据Kolrnogorov定理）。一个典型的3层BP神经网络模型如图7所示。
第二节、神经网络实现
神经网络，全程为前馈神经网络，它被用到监督学习中的主体思想是（我们假定我们这里各个层Layer次间采用的是全链接）：通过各个Layer层的激励和权值以及偏置的处理向前传递，最终得到一个预期的值，然后通过标签值和预期的值得到一个残差值，残差值的大小反映了预期值和残差值的偏离程度，然后使用反向传播算法（见下文），然后对上一层的推倒公式进行梯度（就是对应每一个变量x1,x2,x3,x4,x5，…..,xn求解偏导，见下文）求解，然后代入各个变量x，得到各个变量x 当前层Layer对应的权值w'(这个w’其实就是当前w偏离真实的w的残差值)，然后依次的向上一层反向传播，最终到达Input层，这时候我们会就会得到各个层Layer相对应的权值w的偏离值，然后我们可以设定一个学习率（在caffe中是用l_r表示的），也就是步长，来设置我们参数更新的大小其实就是各个层layer当前的权值w加上对应的w的偏离值乘上这个步长即 w+=w‘*l_r，这样就达到了参数的更新，然后通过数次迭代调整好w,b参数，特别需要强调一下的是，b可以是固定的，也可以设置成跟w权值相关的，比如b=w/2 等等,视情况而定。
1、关于梯度
对于梯度，我们这里就从这几个角度进行一下解释，什么是梯度，梯度在BP网络中的作用，或者说为什么BP网络中要采用梯度。
什么是梯度？
梯度，即求偏导，比如我们有这样一个函数，f = 2a +3b ,如果我们求解a的梯度，fa = 2,如果我们求解b的梯度，f_b = 3。
以上就是对梯度最简单的描述，那个也是只有一层神经网络时的参数求解，但是在实际的网络模型中，我们基本上不会用那么简单的模型，我们一般用层数较多（大于2层的模型进行）的模型来解决我们所面临的问题，对于多层神经网络
图8 多层神经网络
如图8是一个三层的神经网络，我们一般将其等化成数学中的复合函数，比如上图中这个三层的（全链接的）神经网络，其实用复合函数的公式表示就是这样：
对于第一层
f1 = x1*w1_11 + x2*w1_12 +b1_1
f2 = x1*w1_21 + x2*w1_22 +b1_2
f3 = x1*w1_31 + x2*w1_32 +b1_3
然后进入到第二层
f4 = f1*w2_11 + f2*w2_12 + f3*w2_13 + b2_1
f5 = f1*w2_21 + f2*w2_22 + f3*w2_23 + b2_2
然后第三层
f6 = f4*w3_11 + f5*w3_12 + b3_1
这个其实就和 f = (1-x^2)^3 改写成 g =x^2 , t = 1-x , f = x^3 是一个道理
第一层：g = x^2
第二层：t =1-g
第三层: f = t^3
我们对于这种复合函数求解梯度的步骤，如下：
对t求偏导数
对g求偏导数
对x求偏导数
这就是求解梯度的过程，以上就是对于梯度的一个描述
那么梯度在BP网路中起到何种作用？
梯度在求解的过程中，其实就是对逐个变量进行求导，比如f =a(bx),我们将其改成复合函数f=ag ,g = bx ,对x进行求导，那么我们会得到变量的系数. 而我们所做的这一切就是为了得到这个，得到每一层Layer的各个变量对应的系数，这个系数非常重要，我们来举个例子说明一下，比如这个函数，f = a(bx),假设我们刚开始的时候随机的设定一个值给a = 0.23 , b=1 ，x去一系列值[1,2,3],我们都事先知道f的值对应[0.5,1,1.5]，假定我们无法直接计算得到a的值为0.5，我们来一步步的估算a的，步骤如下：
不妨假定函数的真实值用ft表示，预估值用fp表示，残差用fre.
当
而我们用公式得到fp =0.23，fre = ft – fp =0.27,然后得到：are = 0.27*a,
注 are为a的偏差值
得到bre = b*are=1*0.27*a
然后我们再求解b的更新值 b_n = b + l_r*bre*b（g求关于x的梯度）*1 (l_r为我们设定的学习率)
再更新 a_n = a + l_r*are*ab(f求关于x梯度的值)*1
这样 我们就对参数a,b进行了更新.
然后当x =2 ,ft=1 …..依次这样迭代更新 a,b
我们就是通过这种方式来进行参数更新的….
1.3关于梯度的反向传播
反向传播就是将残差反推到各个参数上，求解各个参数的误差值，最后在每一个变量的梯度的方向上对误差进行修正，修正的幅度依据学习率而定.
2、数据预处理
在训练神经网络前一般需要对数据进行预处理，一种重要的预处理手段是归一化处理。下面简要介绍归一化处理的原理与方法。
(1) 什么是归一化？
数据归一化，就是将数据映射到[0,1]或[-1,1]区间或更小的区间，比如(0.1,0.9) 。
(2) 为什么要归一化处理？
输入数据的单位不一样，有些数据的范围可能特别大，导致的结果是神经网络收敛慢、训练时间长。
数据范围大的输入在模式分类中的作用可能会偏大，而数据范围小的输入作用就可能会偏小。
由于神经网络输出层的激活函数的值域是有限制的，因此需要将网络训练的目标数据映射到激活函数的值域。例如神经网络的输出层若采用S形激活函数，由于S形函数的值域限制在(0,1)，也就是说神经网络的输出只能限制在(0,1)，所以训练数据的输出就要归一化到[0,1]区间。
S形激活函数在(0,1)区间以外区域很平缓，区分度太小。例如S形函数f(X)在参数a=1时，f(100)与f(5)只相差0.0067。
(3) 归一化算法
一种简单而快速的归一化算法是线性转换算法。线性转换算法常见有两种形式：
y = ( x – min )/( max – min )
其中min为x的最小值，max为x的最大值，输入向量为x，归一化后的输出向量为y 。上式将数据归一化到 [ 0 , 1 ]区间，当激活函数采用S形函数时（值域为(0,1)）时这条式子适用。
y = 2 * ( x – min ) / ( max – min ) – 1
这条公式将数据归一化到 [ -1 , 1 ] 区间。当激活函数采用双极S形函数（值域为(-1,1)）时这条式子适用。
(4) Matlab数据归一化处理函数
Matlab中归一化处理数据可以采用premnmx ， postmnmx ， tramnmx 这3个函数。
premnmx
语法：[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt] = premnmx(p,t)
参数：
pn：p矩阵按行归一化后的矩阵
minp，maxp：p矩阵每一行的最小值，最大值
tn：t矩阵按行归一化后的矩阵
mint，maxt：t矩阵每一行的最小值，最大值
作用：将矩阵p，t归一化到[-1,1] ，主要用于归一化处理训练数据集。
tramnmx
语法：[pn] = tramnmx(p,minp,maxp)
参数：
minp，maxp：premnmx函数计算的矩阵的最小，最大值
pn：归一化后的矩阵
作用：主要用于归一化处理待分类的输入数据。
postmnmx
语法： [p,t] = postmnmx(pn,minp,maxp,tn,mint,maxt)
参数：
minp，maxp：premnmx函数计算的p矩阵每行的最小值，最大值
mint，maxt：premnmx函数计算的t矩阵每行的最小值，最大值
作用：将矩阵pn，tn映射回归一化处理前的范围。postmnmx函数主要用于将神经网络的输出结果映射回归一化前的数据范围。
3、使用Matlab实现神经网络
使用Matlab建立前馈神经网络主要会使用到下面3个函数：
newff ：前馈网络创建函数
train：训练一个神经网络
sim ：使用网络进行仿真
下面简要介绍这3个函数的用法。
(1) newff函数语法
函数参数列表有很多的可选参数，具体可以参考Matlab的帮助文档，这里介绍newff函数的一种简单的形式。
语法：net = newff ( A, B, {C} ,‘trainFun’)
参数：
A：一个n×2的矩阵，第i行元素为输入信号xi的最小值和最大值；
B：一个k维行向量，其元素为网络中各层节点数；
C：一个k维字符串行向量，每一分量为对应层神经元的激活函数；
trainFun ：为学习规则采用的训练算法。
(2)常用的激活函数
常用的激活函数有：
a) 线性函数 (Linear transfer function)
f(x) = x
该函数的字符串为’purelin’。
b) 对数S形转移函数( Logarithmic sigmoid transfer function )
该函数的字符串为’logsig’。
c) 双曲正切S形函数 (Hyperbolic tangent sigmoid transfer function )
也就是上面所提到的双极S形函数。
该函数的字符串为’ tansig’。
Matlab的安装目录下的toolboxnnetnnetnntransfer子目录中有所有激活函数的定义说明。
(3)常见的训练函数
常见的训练函数有：
traingd ：梯度下降BP训练函数(Gradient descent backpropagation)
traingdx ：梯度下降自适应学习率训练函数
(4)网络配置参数
一些重要的网络配置参数如下：
net.trainparam.goal ：神经网络训练的目标误差
net.trainparam.show ：显示中间结果的周期
net.trainparam.epochs ：最大迭代次数
net.trainParam.lr ：学习率
(5) train函数
网络训练学习函数。
语法：[ net, tr, Y1, E ] = train( net, X, Y )
参数：
X：网络实际输入
Y：网络应有输出
tr：训练跟踪信息
Y1：网络实际输出
E：误差矩阵
(6) sim函数
语法：Y=sim(net,X)
参数：
net：网络
X：输入给网络的Ｋ×N矩阵，其中K为网络输入个数，N为数据样本数
Y：输出矩阵Q×N，其中Q为网络输出个数
(4) Matlab BP网络实例
我将Iris数据集分为2组，每组各75个样本，每组中每种花各有25个样本。其中一组作为以上程序的训练样本，另外一组作为检验样本。为了方便训练，将3类花分别编号为1，2，3 。
使用这些数据训练一个4输入（分别对应4个特征），3输出（分别对应该样本属于某一品种的可能性大小）的前向网络。
clc
close all
clear
data = xlsread('Iris.csv');
% 打乱数据
flag = length(data);
order = randperm(flag);
nbertrain = round(0.7*flag);% 提取训练和验证数据 70% 训练，30% 验证
XTrain = data(order(1:nbertrain),2:5);
YTrain = data(order(1:nbertrain),7);
XValidation = data(order(nbertrain+1:flag),2:5);
YValidation = data(order(nbertrain+1:flag),7);
%特征值归一化
[input,minI,maxI] = premnmx( XTrain') ;
%构造输出矩阵
s = length( YTrain) ;
output = zeros( s , 3 ) ;
for i = 1 : s
output( i , YTrain( i ) ) = 1 ;
end
%创建神经网络
% logsig：对数S形转移函数；purelin：线性函数
% traingdx ：梯度下降自适应学习率训练函数
net = newff( minmax(input) , [10 3] , { 'logsig' 'purelin' } , 'traingdx' ) ;
%设置训练参数
net.trainparam.show = 50 ;
net.trainparam.epochs = 500 ;
net.trainparam.goal = 0.01 ;
net.trainParam.lr = 0.01 ;
%开始训练
net = train( net, input , output') ;
%测试数据归一化
testInput = tramnmx ( XValidation' , minI, maxI ) ;
%仿真
Y = sim( net , testInput );
%统计识别正确率
[s1 , 2] = size( Y ) ;
hitNum = 0 ;
for i = 1 : s2
[m , Index] = max( Y( : , i ) ) ;
if( Index == YValidation(i) )
hitNum = hitNum + 1 ;
end
end
sprintf('识别率是 %3.3f%%',100 * hitNum / s2 )(5)参数设置对神经网络性能的影响
在实验中通过调整隐含层节点数，选择不通过的激活函数，设定不同的学习率，
隐含层节点个数
隐含层节点的个数对于识别率的影响并不大，但是节点个数过多会增加运算量，使得训练较慢。
激活函数的选择
激活函数无论对于识别率或收敛速度都有显著的影响。在逼近高次曲线时，S形函数精度比线性函数要高得多，但计算量也要大得多。
学习率的选择
学习率影响着网络收敛的速度，以及网络能否收敛。学习率设置偏小可以保证网络收敛，但是收敛较慢。相反，学习率设置偏大则有可能使网络训练不收敛，影响识别效果。
延申思考
1、文中的例子是给出的分类问题，如果是回归问题怎么处理？
Tips:模型皆回归，分类是特例的回归
2、如果模型的test和train数据集正确率相差较大，应该怎么调整参数？
Tips:考虑过/欠拟合解决
3、训练模型的train数据集，为什么要打乱原始数据的排序
有啥疑问、交流评论区见
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