文章目录
- 曲面
- 曲线
- 平面
- 点法式方程
- 不共线的3点确定一个平面
- 方程同解
- 平面方程的一般式
- 特别情形
- 与坐标轴平行的平面
- 与坐标轴垂直@与坐标面平行的平面
- A=B=C=0
- 例
- 截距式
- 两平面的夹角👺
- 两平面的位置关系
- 垂直关系
- 平行关系
- 例
- 点到平面的距离
- 小结
- 例
曲面
- 空间解析几何中”曲面S”的三元方程
的关系(含义)
- S上的任意一点满足方程G
- 不在S上的点,不满足方程G
曲线
- 可以将空间曲线看作是曲面的交线
- 设2个曲面及其方程
和
- 它们的交线
的方程:
平面
点法式方程
- 一个平面
可以有一个位于上的点
及的法向量
所确定 - 平面上的任意一条直线总是和平面的法向量垂直,利用这个关系,可以构造平面的方程
- 平面上的任意一点
,
- 则
即
不共线的3点确定一个平面
- 三个点可以唯一确定三维空间中的一个平面
- 设给定三个点
构成的向量
不共线,则三点确定的平面的法向量可以由叉积确定:
- 再从
中任选一点和
可以得到平面的点法式方程
方程同解
- 对于方程
和
,则
或
平面方程的一般式
- 设方程
,点
满足
-
(由1,2两式相减)
- 根据方程的性质,方程1和3是同解的,而方程3的形式是平面的点法式方程
- 方程3是过点
的且以
为法向量的平面
的点法式方程
- 可见,任意一个形如方程1的一元三次方程可以作为某个平面的方程,方程1称为平面的一般方程
特别情形
- 立体几何中
- 平面与其外的直线
平行的充要条件是中存在一条直线
满足
,即的法向量
- 平面与其外的直线垂直的充要条件是
-
时,方程1(记为
)表示一个通过原点的平面(此时
满足方程(
))
与坐标轴平行的平面
- 这里的平行包含了坐标轴位于平面上的情形
-
时,退化为
此时方程仅剩下2个变量;此时平面上的任意点沿着
轴平移任意距离依然位于平面上,可见
是一个平行于轴的平面
- 以平面法向量的角度来看,
的法向量是
其特点是位于坐标面
上(和
轴垂直)
-
时,
是一个平行于
轴的平面 -
时,
是一个平行于
轴的平面
与坐标轴垂直@与坐标面平行的平面
- 若
中的2个为0,则平面平行于坐标面 - 例如A=B=0,平面的法向量为
平行于z轴,此时平面垂直于z轴(平行于坐标面)
- 假设平面的法向量平行于z轴(设为(0,0,1),且平面过(1,1,1),方程为
,记为
- 此时,所有位于满足
的点都满足方程
- 可以判断,满足的所有点构成一个平行于
坐标面的平面(或说垂直于
轴的平面)
- 此时方程形如
- 假设点
位于该平面上,则
,因此
- 由于z=0,所以
-
,即
,
表示
坐标面
- 假设点(1,1,1)位于该平面,
,
,
- 平面的方程可以表示为
,方程两边同时除以
,得到
,即
A=B=C=0
- 这种情况下,法向量变为这是个零向量,其方向是任意的,此时方程变为
,不在表示平面
例
- 求过点
和轴的平面
的方程
- 设平面方程一般式为
- 由于过轴,则
位于,所以
且
,即
- 此时方程为
- 带入
,则
,即
- 从而
,
- 若
对
两边同除以
,得到
- 若
,则方程为
不是一个平面
- Note:
- 由
轴位于平面
上可知,的法向量
在轴上的投影为0
-
(其中
表示
轴) - 从而
截距式
- 设平面与
轴的交点依次为$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)
Pi$的方程
- 设平面的方程为
- 将
分别带入方程:
- 解得
- 从而即为
,两边同乘以
并移项,得到截距式
两平面的夹角👺
- 这部分和高中数学内容向重合
- 两平面的夹角(通常记为
,
内的角)称为两平面的夹角
- 设平面
的法线向量依次为
,
-
,
,
- 记平面的夹角为
- 余弦函数满足
- 因此
,也就是说,只要任意求出
,然后对其取绝对值就是的余弦值 - 而
的计算公式为
- 注意,该公式和两向量的夹角余弦公式的区别在于外围增加了一层”绝对值号”
两平面的位置关系
- 借助夹角来判断两个平面的平行和垂直关系
垂直关系
- 两个平面垂直,夹角
,则
,根据
的公式(上一节介绍的),
平行关系
- 两个平面平行,夹角为
或
,则
,即
- 可得
- 根据平方和为0的性质:
-
,即
, -
,即
-
,即
- 若
(或说
)
- 两边乘以
,式1形式变换为
类似的,可以得到
,
- 因此
- 虽然使用这个形式有
的条件,但是如果已知
的法向量满足该式,则
- 在同济高数教材中,分母为0的情况用注脚做出了说明,约定在遇到分母为0的时候不再将其解释为除法(除以0),而是将分子视为0处理
例
- 平面通过
两点,
,有关系
,求
- 利用待定系数法求解
- 思路1:
- 设
的方程为
- 法向量为
- 由
在上可知:
,
,两式相减
- 可求解出
- 思路2:设的法向量为
-
,所以
- 从而
,即
- 可以解出
-
的法向量为
,由
关系和上节中的结论:
,即
- 将
带入
,得
;此时
- 取
为点法式的点,构造方程
,即
- 对两边同时除以C(
),则
即
,即
点到平面的距离
- 设
是平面
外一点,求
到的距离
- 设平面的法向量为,其朝向记为
,
也是
的法向量,其朝向记为
- 我们只需要讨论其中的一种情况,另一种情况由于条件的对称性,同理,具有相同的结论
- 下面讨论点
位于
侧时的情形
- 将位于
侧时的
,记为
,位于
侧时记为
- 分析可知,法向量
和
的夹角
,和
的夹角为
- 距离分别记为
和
- 其中
,即
,从而
- 另一方面,
,即
,从而
- 从而
的计算公式形式一致,因此点到
的距离公式为: 
小结
- 带入坐标式:
- 由于
,所以
,即
- 所以
例
- 点
到
的距离:
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