文章目录
- 空间直线
- 直线的方向向量
- 对称式方程(点向式方程)
- 参数方程
- 从一般方程到点向式方程
- 例:
- 两直线夹角
- 两直线的位置关系
- 直线与平面的夹角
- 线面位置关系
- 线面垂直
- 线面平行
空间直线
- 空间直线是空间曲线中的一种特殊情况,可以看作是某两个平面的交线
- 空间直线的一般方程可以表示为”方程组”
- 过空间中某一直线的平面总是有无数个,只需要找到其中的2个,计算交线方程即可
直线的方向向量
- 如果一个非零向量
平行于一条已知直线
,那么向量就是的方向向量
- 过空间一点
有且仅有一条直线能和已知直线平行(夹角为
或
) - 因此,若直线上的某点
和方向向量
已知时,直线就确定下来了
对称式方程(点向式方程)
- 设点
是直线
上的任意一点,则向量
与的方向向量
平行,
表明
- 若
- 否则:
- 由
可知,
最多有2个为0
- 当
中的某一个为0时,以
为例
- 当中的某2个为0,以
为例
参数方程
- 有对称式方程容易得到参数方程:
- 移项得关于参数
得参数方程组:
从一般方程到点向式方程
- 首先找到直线L上得任意一点
- 由于直线L的一般方程是一个包含2个3元1次方程的方程组,其具有无穷多个解(对应了直线上有无穷多个点)
- 根据线性方程组的(解的结构)相关结论可以知道,方程组的解至少包含一个自由未知量
- 更具体地,由于该方程组仅包含2个方程,因此判断他们是否称比例,如果不成比例,两个方程线性无关
- 为了找到直线L上的某一个具体的点
- 设直线L上的一点
,为了确定具体的点,不妨取定一个常数,比如
,带入到直线一般式方程组 - 求解得到一个具体的
坐标
- 求解直线的方向向量
- 可以再求直线L上的另一点
,则
- 或者由L的方向向量和两个平面的法向量
,
同时垂直,计算出
- 联立上述方程,
;
;可以得到用同一个字母表示作为坐标值构成的线向量,提取公因子 - 具体可以表示为:
-
也就是都可以用仅含一个未知数的p的表达式表达 - 这种方法不太方便
- 直接使用向量的外积最为直接
- 根据点向式方程公式带入点和直线;
例:
- 直线L的一般方程
- 取
,则方程组变为 -
解得:
,
- 从而点
在直线L上 - 以下有2种方法求解L的一个法向量
- 方法1:
- 取
,可以算得
是L上的另一点 - 则
,可以取
- 方法2:
- 利用向量外积来求L的一个方向向量
- 因此,可以取
作为L的方向向量
- 所以点法式方程
- 参数方程
两直线夹角
- 两直线的夹角主要借助于直线的方向向量来讨论的
- 设直线
的方向向量为
- 两直线夹角与在讨论平面的夹角(借助于平面的法向量)时的过程相仿
- 设直线
的夹角为
(直线相交产生2组对顶角,夹角一般取较小的一组,两组对顶角分别设为
,则
,
) 
两直线的位置关系
- 参考平面位置关系一节
-
,
-
,
(注意约定的潜在含义)
直线与平面的夹角
- 直线和平面的夹角
- 当直线和平面不垂直的时候(
,直线
在
上的投影线
的夹角称为直线和平面的夹角 - 否则规定夹角为
- 依然借助于平面的法向量(以及直线的方向向量)来研究线面角
-
;
; -
,
- 向量间夹角范围
- 直线与直线,直线与平面的夹角范围
- 取
,则
- 对于
可以用向量间夹角余弦公式直接计算出来 -
,即:
线面位置关系
- 设有直线
及其方向向量,平面
及其法向量
线面垂直
-
,即
线面平行
-
,即
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