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原文出处：拓端数据部落公众号
投资者最关心的两个问题就是收益率和股息，两者作为公司经营状况的两个重要方面，往往同时出现在投资报告中，二者之间具有较强的关联性。目前，国内外对于股票股息收益、股息收益率和股权溢价等方面的研究已有很多，但大多数是关于市场环境或宏观因素对上述指标产生影响的研究。
本文选择沪深两市股票作为研究对象，帮助客户构建两阶段最小二乘法2 SLS回归、工具变量法分析股息收益、股息收益率和股权溢价，旨在探究指标间是否具有显著相关关系。研究结论不仅为投资者提供了分析投资机会的理论依据，还有助于上市公司进行决策分析。此外，文章还对相关行业的发展具有一定指导意义。
1.数据
表格中包括从1965年到2014年的月度数据，需要用到的是： yyyymm(年⽉)，
index(s&p 500 price index) ， Dividend, D12(dividend yield), Rfree(risk-free rate)
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head(data)
## yyyymm Index Dividend D12 E12 b/m tbl AAA BAA
## 1 196501 87.56 2.51667 2.51667 4.59333 0.4717232 0.0381 0.0443 0.0480
## 2 196502 87.43 2.53333 2.53333 4.63667 0.4713995 0.0393 0.0441 0.0478
## 3 196503 86.16 2.55000 2.55000 4.68000 0.4694899 0.0393 0.0442 0.0478
## 4 196504 89.11 2.57000 2.57000 4.73333 0.4525593 0.0393 0.0443 0.0480
## 5 196505 88.42 2.59000 2.59000 4.78667 0.4546643 0.0389 0.0444 0.0481
## 6 196506 84.12 2.61000 2.61000 4.84000 0.4808590 0.0380 0.0446 0.0485
## lty ntis Rfree infl ltr corpr svar
## 1 0.0422 0.01790289 0.003175000 0.0009600000 0.0040 0.0081 0.0001534973
## 2 0.0424 0.01482236 0.003275000 0.0000000000 0.0014 0.0009 0.0003681211
## 3 0.0422 0.01913336 0.003275000 0.0009590793 0.0054 0.0012 0.0001431412
## 4 0.0422 0.01472169 0.003275000 0.0022357074 0.0036 0.0021 0.0001654871
## 5 0.0423 0.01624416 0.003241667 0.0031867431 0.0018 -0.0008 0.0003363517
## 6 0.0423 0.01755028 0.003166667 0.0041296061 0.0047 0.0003 0.0018498325
## csp CRSP_SPvw CRSP_SPvwx
## 1 -0.0022007442 0.034791 0.033837
## 2 -0.0022017761 0.003746 -0.000853
## 3 -0.0021373681 -0.012213 -0.013685
## 4 -0.0021429735 0.035612 0.034769
## 5 -0.0025656153 -0.003122 -0.008354
## 6 -0.0023808197 -0.046880 -0.048367
#需要用到的是有红色标记的：yyyy(年份)，price index(s&p 500 price index)，D12(dividend yield),Rfree(risk-free)
CampaignData 2.自变量x
⾃变量x是D12(dividend-yield)， DY(t)=log[D(t)/P(t-1)],这⾥的D(t)就是表格中的Dividend。 P(t-1) 就是表格中的index.
DY=log(Dt/Pt)
3.因变量y
因变量y是股权溢价(equity premium)，公式是equity premium=rm(t)-rf(t)
关于rm(t): rm(t)=log[Rm,t]=log[ (P(t)+D(t)) / P(t-1) ],D(t)就是表格中的Dividend.
P(t),P(t-1)就是表格中的index.
关于 rf(t): rf(t)=log[1+Rf(t)],这⾥的Rf(t)就是表格中的Rfree(risk-free rate)
equity_premium=Rm-Rf
y=equity_premium
4.模型
y(t)=β＊ x(t-1)+ε(t) (1)
oequity_premium[-1] ~ CampaignData$D12[-n] +I(1:(n-1)), data=CampaignData)
x(t)= ρ＊ x(t-1)+u(t) (2)
5.工具变量：
z(t)=ρz＊ z(t-1)+Δx(t) ,其中ρz是z(t-1)的系数，和式⼦（2）中的ρ不是同⼀个值.
这⾥的
z0=0,ρz=1+c/nκ ， c=-1,k=0.95
c=-1
z=0
ρz=1+c/(n^k)
for(i in 1:n)z[i+1]=ρz*z[i]+x[i]
z=z[-1]
6.用两阶段最⼩二乘法做回归， 2SLS
具体做法:
（1）通过工具变量计算出z(t-1)的数值
（2）建⽴x(t-1)与z(t-1)的函数关系： x(t-1)=αz(t-1)＋ e(t),通过OLS得出α的估计值，
然后得出x(t-1)的估计值。x(t-1)的估计值＝ α的估计值＊ z(t-1)
（3）把x(t-1)的估计值带⼊到第⼀个式⼦中，即y(t)=β＊ x(t-1)的估计值+ε(t) ，再
进⾏OLS回归，最后得到β的估计值，以及test-statistic的值，和p-value.
# 建⽴x(t-1)与z(t-1)的函数关系
n=length(x)
olsmodel 
7.p-value surfaces图：
需要的是得到下⾯的这样一张图，⽤p-value 构建的。
具体描述是：
所选取的样本区间是从1965年1⽉到2014年12⽉，以5年为⼀个最短的⼦样本。
图的y轴为样本的起始点⼀共540个（从1965年1⽉到2009年12⽉）， x轴为样本的终点⼀共也是540个（从1970年1⽉到2014年12⽉）。图中的每⼀个点为⼀个⼦样本的p-value的值。
for(j in 1:(length(yy)-1)){
p=c(p,f(x[xx[i]:xx[i+1]],y[yy[j]:yy[j+1]]))
persp(xx, yy, z, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue")
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