基本信息

常用的包及函数

• stats 默认加载包，提供prcomp与princomp函数进行PCA计算
• psych 心理学研究包，提供principal
• FactoMineR 多元分析包，提供PCA函数进行PCA计算

PCA中常见概念

不同包中函数计算特征值并无差异，但由于对具体概念的理解不一致，导致同一参数的数值有一定区别，因此要对概念加以区分。

特征值(eigen value, eigen)

特征值指的是相关矩阵或者协方差矩阵的特征值。

特征值等于各主成分的方差，其相对比例可理解为方差解释度或贡献度。

特征值平方根(square root of eigen value, sdev)

特征值的平方根表示的是主成分得分的标准偏差（standard deviation）,即prcomp 结果中的sdev。

特征向量(eigen vector)

特征向量是主成分对于原始变量的线性转换系数矩阵（主成分得分系数）。

标准化后的原始变量与特征向量的矩阵积为主成分得分。

特征向量是单位向量（unit-length），其列平方和等于1。

从列上看，同一PC的特征向量的平方数等于FactoMineR包中PCA函数计算结果中的contribution,理解为各变量对其主成分方差的贡献。等于。

载荷(loading)

一般定义为原始变量与主成分得分之间的相关系数，等于特征向量乘以特征值的平方根。

特征矩阵可以认为是单位标准化（unit-scaled,列平方和为1）的载荷。

从列上看，各变量对同一主成分的载荷的平方和等于其特征值（主成分的方差），理解为各变量对该主成分的贡献。

从行上看，同一变量对各主成分的载荷的平方（FactoMineR包中PCA函数计算结果中的cos2），理解为各主成分对该变量方差的解释度，其和值为1（变量的方差）。

因子得分系数(weight)

线性转换系数矩阵，经常与特征向量矩阵混淆。因子得分系数数值上等于特征向量除以特征值的平方根，因此相当于标准化的特征向量。

得分(score)

得分可分为主成分得分与因子得分，因子得分数值上等于主成分得分除以特征值的平方根，相当于标准化的主成分得分。

主成分得分为原始向量经过特征矩阵线性转换后的投影值。主成分得分矩阵的协方差为对角矩阵，且对角元素为特征值，非对角元素接近0。

因子得分为原始向量经因子得分系数权重(weight)转换后的投影值。因子得分矩阵的协方差为对角矩阵，对角元素为1，非对角元素接近0。

PCA操作

原始推导

数据准备

# 手动推导 --------------------------------------------------------------------
dt=scale(iris[,1:4]) #z-score标准化
head(dt)

##      Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
## [1,]   -0.8976739  1.01560199    -1.335752   -1.311052
## [2,]   -1.1392005 -0.13153881    -1.335752   -1.311052
## [3,]   -1.3807271  0.32731751    -1.392399   -1.311052
## [4,]   -1.5014904  0.09788935    -1.279104   -1.311052
## [5,]   -1.0184372  1.24503015    -1.335752   -1.311052
## [6,]   -0.5353840  1.93331463    -1.165809   -1.048667

rm1=cor(dt) # 相关矩阵
rm1

##              Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
## Sepal.Length    1.0000000  -0.1175698    0.8717538   0.8179411
## Sepal.Width    -0.1175698   1.0000000   -0.4284401  -0.3661259
## Petal.Length    0.8717538  -0.4284401    1.0000000   0.9628654
## Petal.Width     0.8179411  -0.3661259    0.9628654   1.0000000

特征值分解

rs1=eigen(rm1) # 特征值分解
rs1

## eigen() decomposition
## $values
## [1] 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484
## 
## $vectors
##            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
## [1,]  0.5210659 -0.37741762  0.7195664  0.2612863
## [2,] -0.2693474 -0.92329566 -0.2443818 -0.1235096
## [3,]  0.5804131 -0.02449161 -0.1421264 -0.8014492
## [4,]  0.5648565 -0.06694199 -0.6342727  0.5235971

特征值

val=rs1$value # 特征值，即各PC的方差
val

## [1] 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

val_sd=sqrt(val) # 各PC的方差标准差
val_sd

## [1] 1.7083611 0.9560494 0.3830886 0.1439265

val/sum(val) # 各PC的方差解释度

## [1] 0.729624454 0.228507618 0.036689219 0.005178709

val/sum(val)|>cumsum() # 累计解释度

## [1] 0.729624454 0.228507618 0.036689219 0.005178709

特征向量

U=rs1$vectors # 特征向量
apply(U^2,2,sum) # 各PC单位特征向量，列平方和（模）为1

## [1] 1 1 1 1

得分矩阵

PC=dt %*% U  # 得分矩阵
colnames(PC)  c("PC1","PC2","PC3","PC4")
head(PC)

##            PC1        PC2         PC3          PC4
## [1,] -2.257141 -0.4784238  0.12727962  0.024087508
## [2,] -2.074013  0.6718827  0.23382552  0.102662845
## [3,] -2.356335  0.3407664 -0.04405390  0.028282305
## [4,] -2.291707  0.5953999 -0.09098530 -0.065735340
## [5,] -2.381863 -0.6446757 -0.01568565 -0.035802870
## [6,] -2.068701 -1.4842053 -0.02687825  0.006586116

cov(PC) # 得分矩阵协方差为对角矩阵，且对角元素为特征值，非对角元素接近0。

##              PC1          PC2           PC3           PC4
## PC1 2.918498e+00 1.002833e-15  5.273639e-16  2.443472e-16
## PC2 1.002833e-15 9.140305e-01  1.249926e-16  8.745985e-18
## PC3 5.273639e-16 1.249926e-16  1.467569e-01 -9.267896e-17
## PC4 2.443472e-16 8.745985e-18 -9.267896e-17  2.071484e-02

apply(PC,2,var) # 主成分得分的方差等于特征值

##        PC1        PC2        PC3        PC4 
## 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

载荷矩阵

loadings= U %*% diag(sqrt(val)) # 载荷loading=特征向量*sqrt(val)
loadings

##            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]
## [1,]  0.8901688 -0.36082989  0.27565767  0.03760602
## [2,] -0.4601427 -0.88271627 -0.09361987 -0.01777631
## [3,]  0.9915552 -0.02341519 -0.05444699 -0.11534978
## [4,]  0.9649790 -0.06399985 -0.24298265  0.07535950

cor(dt,PC) # 载荷数值上等于各变量与PC的相关系数

##                     PC1         PC2         PC3         PC4
## Sepal.Length  0.8901688 -0.36082989  0.27565767  0.03760602
## Sepal.Width  -0.4601427 -0.88271627 -0.09361987 -0.01777631
## Petal.Length  0.9915552 -0.02341519 -0.05444699 -0.11534978
## Petal.Width   0.9649790 -0.06399985 -0.24298265  0.07535950

loadings %*% t(loadings) # 再现相关矩阵cor(dt)

##            [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
## [1,]  1.0000000 -0.1175698  0.8717538  0.8179411
## [2,] -0.1175698  1.0000000 -0.4284401 -0.3661259
## [3,]  0.8717538 -0.4284401  1.0000000  0.9628654
## [4,]  0.8179411 -0.3661259  0.9628654  1.0000000

loadings^2

##           [,1]        [,2]        [,3]         [,4]
## [1,] 0.7924004 0.130198208 0.075987149 0.0014142127
## [2,] 0.2117313 0.779188012 0.008764681 0.0003159971
## [3,] 0.9831817 0.000548271 0.002964475 0.0133055723
## [4,] 0.9311844 0.004095980 0.059040571 0.0056790544

loadings^2|>colSums() # 载荷平方的列和=特征值

## [1] 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

loadings^2|>rowSums() # 载荷平方的行和=1，理解为各PC对变量的解释度

## [1] 1 1 1 1

使用princomp函数

princomp’` 使用特征值分解方法，只能在记录数比变量多的情况下使用,一般不推荐。

在princomp输出中，loading为特征向量矩阵，需要格外注意！！！

pca1=princomp(iris[,1:4],cor=T,scores=T) 
summary(pca1)

## Importance of components:
##                           Comp.1    Comp.2     Comp.3      Comp.4
## Standard deviation     1.7083611 0.9560494 0.38308860 0.143926497
## Proportion of Variance 0.7296245 0.2285076 0.03668922 0.005178709
## Cumulative Proportion  0.7296245 0.9581321 0.99482129 1.000000000

pca1$sdev # 主成分标准偏差

##    Comp.1    Comp.2    Comp.3    Comp.4 
## 1.7083611 0.9560494 0.3830886 0.1439265

pca1$sdev^2 # 特征值

##     Comp.1     Comp.2     Comp.3     Comp.4 
## 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

pca1$loadings # 特征向量

## 
## Loadings:
##              Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
## Sepal.Length  0.521  0.377  0.720  0.261
## Sepal.Width  -0.269  0.923 -0.244 -0.124
## Petal.Length  0.580        -0.142 -0.801
## Petal.Width   0.565        -0.634  0.524
## 
##                Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
## SS loadings      1.00   1.00   1.00   1.00
## Proportion Var   0.25   0.25   0.25   0.25
## Cumulative Var   0.25   0.50   0.75   1.00

head(pca1$scores) # PC得分矩阵

##         Comp.1     Comp.2      Comp.3      Comp.4
## [1,] -2.264703  0.4800266  0.12770602  0.02416820
## [2,] -2.080961 -0.6741336  0.23460885  0.10300677
## [3,] -2.364229 -0.3419080 -0.04420148  0.02837705
## [4,] -2.299384 -0.5973945 -0.09129011 -0.06595556
## [5,] -2.389842  0.6468354 -0.01573820 -0.03592281
## [6,] -2.075631  1.4891775 -0.02696829  0.00660818

使用 prcomp函数

prcomp使用奇异值分解(SVD)方法，一般推荐。

prcomp的输出结果中用rotation表示特征向量矩阵；用x表示PC得分矩阵。

pca2=prcomp(iris[,1:4],scale. = T)
pca2 |> summary()

## Importance of components:
##                           PC1    PC2     PC3     PC4
## Standard deviation     1.7084 0.9560 0.38309 0.14393
## Proportion of Variance 0.7296 0.2285 0.03669 0.00518
## Cumulative Proportion  0.7296 0.9581 0.99482 1.00000

pca2$sdev # 主成分标准偏差

## [1] 1.7083611 0.9560494 0.3830886 0.1439265

pca2$sdev^2

## [1] 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

pca2$rotation #特征向量

##                     PC1         PC2        PC3        PC4
## Sepal.Length  0.5210659 -0.37741762  0.7195664  0.2612863
## Sepal.Width  -0.2693474 -0.92329566 -0.2443818 -0.1235096
## Petal.Length  0.5804131 -0.02449161 -0.1421264 -0.8014492
## Petal.Width   0.5648565 -0.06694199 -0.6342727  0.5235971

head(pca2$x) # 得分矩阵

##            PC1        PC2         PC3          PC4
## [1,] -2.257141 -0.4784238  0.12727962  0.024087508
## [2,] -2.074013  0.6718827  0.23382552  0.102662845
## [3,] -2.356335  0.3407664 -0.04405390  0.028282305
## [4,] -2.291707  0.5953999 -0.09098530 -0.065735340
## [5,] -2.381863 -0.6446757 -0.01568565 -0.035802870
## [6,] -2.068701 -1.4842053 -0.02687825  0.006586116

使用psych::principal函数

在psych::principal输出中：

• value 特征值
• loadings 载荷
• weight 因子系数
• scores 因子得分

## determine the  number of PCs
#fp=fa.parallel(dt,fa="pc",n.iter=100)

# extract PCs
pca3=psych::principal(dt,nfactors = 4,rotate="none")
#principal(dt,nfactors = 2,rotate="varimax",score=T)

pca3$values # 特征值

## [1] 2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484

pca3$loadings # 因子载荷，即特征向量*sqrt(特征值)

## 
## Loadings:
##              PC1    PC2    PC3    PC4   
## Sepal.Length  0.890  0.361 -0.276       
## Sepal.Width  -0.460  0.883              
## Petal.Length  0.992                0.115
## Petal.Width   0.965         0.243       
## 
##                  PC1   PC2   PC3   PC4
## SS loadings    2.918 0.914 0.147 0.021
## Proportion Var 0.730 0.229 0.037 0.005
## Cumulative Var 0.730 0.958 0.995 1.000

pca3$weights # 因子得分系数，即特征向量/sqrt(特征值)

##                     PC1        PC2        PC3        PC4
## Sepal.Length  0.3050092 0.39476790 -1.8783288 -1.8154147
## Sepal.Width  -0.1576642 0.96574053  0.6379250  0.8581437
## Petal.Length  0.3397485 0.02561751  0.3710013  5.5684621
## Petal.Width   0.3306423 0.07001938  1.6556816 -3.6379482

head(pca3$scores) # 因子得分=原始数据 %*% 因子得分系数矩

##            PC1        PC2         PC3         PC4
## [1,] -1.321232  0.5004175 -0.33224592 -0.16735979
## [2,] -1.214037 -0.7027698 -0.61036929 -0.71330052
## [3,] -1.379296 -0.3564318  0.11499664 -0.19650520
## [4,] -1.341465 -0.6227710  0.23750458  0.45672855
## [5,] -1.394238  0.6743121  0.04094522  0.24875802
## [6,] -1.210927  1.5524358  0.07016197 -0.04576028

dt %*% pca3$weights |> head() # 因子得分

##            PC1        PC2         PC3         PC4
## [1,] -1.321232  0.5004175 -0.33224592 -0.16735979
## [2,] -1.214037 -0.7027698 -0.61036929 -0.71330052
## [3,] -1.379296 -0.3564318  0.11499664 -0.19650520
## [4,] -1.341465 -0.6227710  0.23750458  0.45672855
## [5,] -1.394238  0.6743121  0.04094522  0.24875802
## [6,] -1.210927  1.5524358  0.07016197 -0.04576028

cov(pca3$scores) # 对角元素为1，而PC得分的协方差为特征值

##               PC1           PC2           PC3           PC4
## PC1  1.000000e+00  2.195696e-16 -2.320877e-16  1.311770e-15
## PC2  2.195696e-16  1.000000e+00  7.315978e-16 -3.200948e-16
## PC3 -2.320877e-16  7.315978e-16  1.000000e+00  3.156702e-17
## PC4  1.311770e-15 -3.200948e-16  3.156702e-17  1.000000e+00

apply(pca3$scores,2,var) # 方差为1，而PC得分的方差为特征值

## PC1 PC2 PC3 PC4 
##   1   1   1   1

# 可见因子得分是经特征值标准化后的主成分得分。

使用FactoMineR::PCA函数

在FactoMineR::PCA中输出的结果也与psych中较为一致，且输出的图为相关图。

需要注意的是FactoMineR::PCA包作者认为loading就是转换矩阵（特征向量，与princomp、prcomp函数中的loading是一个意思），但是他也认为更值得关注的是相关性（cor），即我们之前提到的loading。

除特征值外，PCA函数分var(变量)与ind（样本）两部分输出。其中均包含：

• coord 在PC上的投影坐标，var中为变量与PC的相关系数；ind中为PC得分。
• cos2 coord数值平方占行和的比例，表示PC对var或ind的代表性
• contrib coord数值平方占列和的比例，表示var或ind对PC的贡献

pacman::p_load(FactoMineR)
res.pca  PCA(dt,graph=F)

#summary(res.pca)

plot(res.pca,choix="var")

dimdesc(res.pca, axes = 1:2)

## $Dim.1
## 
## Link between the variable and the continuous variables (R-square)
## =================================================================================
##              correlation       p.value
## Petal.Length   0.9915552 3.369916e-133
## Petal.Width    0.9649790  6.609632e-88
## Sepal.Length   0.8901688  2.190813e-52
## Sepal.Width   -0.4601427  3.139724e-09
## 
## $Dim.2
## 
## Link between the variable and the continuous variables (R-square)
## =================================================================================
##              correlation      p.value
## Sepal.Width    0.8827163 2.123801e-50
## Sepal.Length   0.3608299 5.731933e-06

#特征根
res.pca$eig

##        eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 2.91849782             72.9624454                          72.96245
## comp 2 0.91403047             22.8507618                          95.81321
## comp 3 0.14675688              3.6689219                          99.48213
## comp 4 0.02071484              0.5178709                         100.00000

res.pca$eig|>sqrt()

##        eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1  1.7083611              8.5418057                          8.541806
## comp 2  0.9560494              4.7802470                          9.788422
## comp 3  0.3830886              1.9154430                          9.974073
## comp 4  0.1439265              0.7196325                         10.000000

#变量分析
#     res.pca$var

# 相关图中的坐标
res.pca$var$coord 

##                   Dim.1      Dim.2       Dim.3       Dim.4
## Sepal.Length  0.8901688 0.36082989 -0.27565767 -0.03760602
## Sepal.Width  -0.4601427 0.88271627  0.09361987  0.01777631
## Petal.Length  0.9915552 0.02341519  0.05444699  0.11534978
## Petal.Width   0.9649790 0.06399985  0.24298265 -0.07535950

# prcomp中的loading*sqrt(eigenvalue)
mapply(`*`,as.data.frame(pca2$rotation),pca2$sdev)

##             PC1         PC2         PC3         PC4
## [1,]  0.8901688 -0.36082989  0.27565767  0.03760602
## [2,] -0.4601427 -0.88271627 -0.09361987 -0.01777631
## [3,]  0.9915552 -0.02341519 -0.05444699 -0.11534978
## [4,]  0.9649790 -0.06399985 -0.24298265  0.07535950

# 变量与主成分得分的相关系数,数值与coord相同
res.pca$var$cor 

##                   Dim.1      Dim.2       Dim.3       Dim.4
## Sepal.Length  0.8901688 0.36082989 -0.27565767 -0.03760602
## Sepal.Width  -0.4601427 0.88271627  0.09361987  0.01777631
## Petal.Length  0.9915552 0.02341519  0.05444699  0.11534978
## Petal.Width   0.9649790 0.06399985  0.24298265 -0.07535950

#各主成分对特定变量的解释度（代表性）
res.pca$var$cos2 

##                  Dim.1       Dim.2       Dim.3        Dim.4
## Sepal.Length 0.7924004 0.130198208 0.075987149 0.0014142127
## Sepal.Width  0.2117313 0.779188012 0.008764681 0.0003159971
## Petal.Length 0.9831817 0.000548271 0.002964475 0.0133055723
## Petal.Width  0.9311844 0.004095980 0.059040571 0.0056790544

#数值上等于cor的平方
res.pca$var$cor^2 

##                  Dim.1       Dim.2       Dim.3        Dim.4
## Sepal.Length 0.7924004 0.130198208 0.075987149 0.0014142127
## Sepal.Width  0.2117313 0.779188012 0.008764681 0.0003159971
## Petal.Length 0.9831817 0.000548271 0.002964475 0.0133055723
## Petal.Width  0.9311844 0.004095980 0.059040571 0.0056790544

#cos2行和=1
res.pca$var$cos2 |> rowSums() # loading的行和

## Sepal.Length  Sepal.Width Petal.Length  Petal.Width 
##            1            1            1            1

#每个变量对某一主成分的贡献
res.pca$var$contrib 

##                  Dim.1       Dim.2     Dim.3     Dim.4
## Sepal.Length 27.150969 14.24440565 51.777574  6.827052
## Sepal.Width   7.254804 85.24748749  5.972245  1.525463
## Petal.Length 33.687936  0.05998389  2.019990 64.232089
## Petal.Width  31.906291  0.44812296 40.230191 27.415396

# 此处contrib数值=原始转换矩阵的平方数
pca2$rotation^2*100

##                    PC1         PC2       PC3       PC4
## Sepal.Length 27.150969 14.24440565 51.777574  6.827052
## Sepal.Width   7.254804 85.24748749  5.972245  1.525463
## Petal.Length 33.687936  0.05998389  2.019990 64.232089
## Petal.Width  31.906291  0.44812296 40.230191 27.415396

# 数值上等于cor平方占特征值的比例
mapply(`/`, as.data.frame(res.pca$var$cor^2),res.pca$eig[,1])*100

##          Dim.1       Dim.2     Dim.3     Dim.4
## [1,] 27.150969 14.24440565 51.777574  6.827052
## [2,]  7.254804 85.24748749  5.972245  1.525463
## [3,] 33.687936  0.05998389  2.019990 64.232089
## [4,] 31.906291  0.44812296 40.230191 27.415396

#列之和=100
apply(res.pca$var$contrib,2,sum)

## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 
##   100   100   100   100

#样本分析
#res.pca$ind

plot(res.pca,choix="ind")

head(res.pca$ind$coord) # 主成分得分

##       Dim.1      Dim.2       Dim.3       Dim.4
## 1 -2.264703  0.4800266 -0.12770602 -0.02416820
## 2 -2.080961 -0.6741336 -0.23460885 -0.10300677
## 3 -2.364229 -0.3419080  0.04420148 -0.02837705
## 4 -2.299384 -0.5973945  0.09129011  0.06595556
## 5 -2.389842  0.6468354  0.01573820  0.03592281
## 6 -2.075631  1.4891775  0.02696829 -0.00660818

pca2$x|>head()

##            PC1        PC2         PC3          PC4
## [1,] -2.257141 -0.4784238  0.12727962  0.024087508
## [2,] -2.074013  0.6718827  0.23382552  0.102662845
## [3,] -2.356335  0.3407664 -0.04405390  0.028282305
## [4,] -2.291707  0.5953999 -0.09098530 -0.065735340
## [5,] -2.381863 -0.6446757 -0.01568565 -0.035802870
## [6,] -2.068701 -1.4842053 -0.02687825  0.006586116

#某一主成分对样本的代表性，
res.pca$ind$cos2 |> head() 

##       Dim.1      Dim.2        Dim.3        Dim.4
## 1 0.9539975 0.04286032 0.0030335249 1.086460e-04
## 2 0.8927725 0.09369248 0.0113475382 2.187482e-03
## 3 0.9790410 0.02047578 0.0003422122 1.410446e-04
## 4 0.9346682 0.06308947 0.0014732682 7.690193e-04
## 5 0.9315095 0.06823959 0.0000403979 2.104697e-04
## 6 0.6600989 0.33978301 0.0001114335 6.690714e-06

#行上看，cos2数值表示的是样本得分平方数在所有主成分上之和的比例
((res.pca$ind$coord^2)/rowSums(res.pca$ind$coord^2) ) |> head()

##       Dim.1      Dim.2        Dim.3        Dim.4
## 1 0.9539975 0.04286032 0.0030335249 1.086460e-04
## 2 0.8927725 0.09369248 0.0113475382 2.187482e-03
## 3 0.9790410 0.02047578 0.0003422122 1.410446e-04
## 4 0.9346682 0.06308947 0.0014732682 7.690193e-04
## 5 0.9315095 0.06823959 0.0000403979 2.104697e-04
## 6 0.6600989 0.33978301 0.0001114335 6.690714e-06

#对某个记录而言，所有成分(行)的cos2之和=1
apply(res.pca$ind$cos2,1,sum)|>head() 

## 1 2 3 4 5 6 
## 1 1 1 1 1 1

# contrib表示的样本占主成分得分的比例
res.pca$ind$contrib |> head()

##       Dim.1      Dim.2       Dim.3       Dim.4
## 1 1.1715796 0.16806554 0.074085470 0.018798188
## 2 0.9891845 0.33146674 0.250034006 0.341474919
## 3 1.2768164 0.08526419 0.008875320 0.025915633
## 4 1.2077372 0.26029781 0.037858004 0.140000650
## 5 1.3046313 0.30516562 0.001125175 0.041530572
## 6 0.9841236 1.61748779 0.003303827 0.001405371

# 列上看，数值上contribtion为每个PC上，得分平方占列和的比例
mapply(`/`,as.data.frame(res.pca$ind$coord^2)*100,colSums(res.pca$ind$coord^2)) |> head()

##          Dim.1      Dim.2       Dim.3       Dim.4
## [1,] 1.1715796 0.16806554 0.074085470 0.018798188
## [2,] 0.9891845 0.33146674 0.250034006 0.341474919
## [3,] 1.2768164 0.08526419 0.008875320 0.025915633
## [4,] 1.2077372 0.26029781 0.037858004 0.140000650
## [5,] 1.3046313 0.30516562 0.001125175 0.041530572
## [6,] 0.9841236 1.61748779 0.003303827 0.001405371

#对某个PC而言，所有变量(列)的贡献之和=100
apply(res.pca$ind$contrib,2,sum)

## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 
##   100   100   100   100

res.pca$ind$dist |> head() # 样本点到原点的距离

##        1        2        3        4        5        6 
## 2.318663 2.202387 2.389401 2.378389 2.476142 2.554734

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