RL 基础 | Policy Gradient 的推导

去听了 hzxu 老师的 DRL 课，感觉终于听懂了，记录一下…

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0 我们想做什么

我们想最大化的东西： (J(theta) = mathbb E_tau[R(tau)]) ，其中 R 是轨迹的 reward 求和（或 discount 求和）。

我们希望，期望下的轨迹的 reward 求和（reward discounted 求和）最大。

1 三个数学 trick

①： (nabla_thetalog z = frac1znabla_theta z)

②： (mathbb E_{xsim p(x)}[f(x)] = int p(x)f(x)dx)

③： (a/b = [acdo服务器托管网t p(x)] / [bcdot p(x)])

2 对单个 transition 的 policy gradient

其中，
第一行 把单个 (s,a) 的 reward 期望写为 (a|s)r(s,a) 的形式；
第二行 认为 r(a) 是不可微分的，去微分 (a|s)；
第三行 在分数线上下 同时塞了一个 (a|s) （即 p(a|s;) ）；
第四行 因为 d log z = dz/z，原式变成 p(a|s)(nabla)p(a|s) 了；
第五行 把 p(a|s) 塞回去，变成了 期望下的 r(s,a) (nabla)log (a|s)。

结论：如果想最大化期望下的 r(s,a)，可以把 r(s,a) 放 (nabla) 外面，去对 log (a|s) 求梯度。

3 对整个 trajectory 的 policy gradient

先计算 trajectory 的概率：

然后，对单个 transition，我们有

对于整个 trajectory 的 total reward 的梯度，应用跟 2 相同的方法（分数线上下同乘 p(|theta) ），可以得到

现在，让我们来看 (nabla_thetalog p(taumidtheta)) 。

其中，
第一行 是把 trajectory 的概率展开；
第二行 第三行 都是把 log(AB) 变成 logA + logB；
然后发现，只有中间这一项 (sum_{t=0}^{T-1}logpi(a_tmid s_t,theta)) 带 ，因此，前后两项都不用跟 求梯度了。

由此，我们得到：

结论：如果想最大化期望下的 R()，可以把 R() 放 (nabla) 外面，去求 (nabla) log (a|s) ，即 log [action 概率] 的梯度。

4 REINFORCE 算法

• 使用策略 (a|s;)，生成一个 trajectory：((s_0, a_0, r_1, …, s_{T-1}, a_{T-1}, r_T)) ；
• 对每个时间步 t，计算回报：(R_t = sum_{k=t+1}^{T} ^{k-t-1} r_k)
• 更新策略参数：( = + ^t R_t ∇_ log (a_t|s_t;))

（算法是 GPT 生成的，看起来好像没问题）

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